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Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/224

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CHAPITRE X.

tion , pour laquelle il n’y a pas d’ensemble exceptionnel , c’est-à-dire faisant connaître dans tout .

Montrons maintenant que est de classe un au plus dans l’intervalle que nous noterons .

étant un point quelconque de , appartient à des ensembles , , …, mais comme n’existe pas, il y a un premier indice , au plus égal à , et à partir duquel n’appartient plus à . est d’ailleurs de première espèce ; un point, appartenant à tous les d’indices inférieurs à un nombre de seconde espèce, appartient en effet à par définition même de . La fonction a donc été définie au point à l’opération et par l’intermédiaire d’un intervalle contenant et provenant de la subdivision d’un intervalle contigu à . Si est distant de de au moins, et si l’on a

,

nous poserons

.

Nous poserons

et.

Les points en lesquels est ainsi définie, les points et mis à part, se répartissent naturellement en ensembles fermés ; sera l’ensemble de ceux des points appartenant à tous les , pour lesquels est inférieur à , et n’appartenant pas à , auxquels s’applique notre définition de .

Les différents sont à la distance au moins les uns des autres, donc il y en a au plus qui existent effectivement. Chacun d’eux se décompose par la considération des intervalles en un nombre fini d’ensembles fermés et, sur chacun de ceux-ci, , donc , est constante.

Finalement est définie par la condition d’être constante sur un nombre fini d’ensembles fermés séparés les uns des autres ; donc on peut compléter la définition de dans de façon que soit continue dans tout .

Il est clair que est la limite des fonctions quand augmente indéfiniment ; en tout point on a en effet à partir d’une certaine valeur de que l’on détermine ainsi :