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CHAPITRE X.
tion
, pour laquelle il n’y a pas d’ensemble exceptionnel
, c’est-à-dire faisant connaître
dans tout
.
Montrons maintenant que
est de classe un au plus dans l’intervalle
que nous noterons
.
étant un point quelconque de
,
appartient à des ensembles
,
, …, mais comme
n’existe pas, il y a un premier indice
, au plus égal à
, et à partir duquel
n’appartient plus à
.
est d’ailleurs de première espèce ; un point, appartenant à tous les
d’indices inférieurs à un nombre
de seconde espèce, appartient en effet à
par définition même de
. La fonction
a donc été définie au point
à l’opération
et par l’intermédiaire d’un intervalle
contenant
et provenant de la subdivision d’un intervalle contigu à
. Si
est distant de
de
au moins, et si l’on a
![{\displaystyle x_{i}\leqq \mathrm {X} \leqq {\frac {p\,x_{i+1}+x_{i}}{p+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/182fb012226612b2a844260746fae2d8fc2a52b2)
,
nous poserons
![{\displaystyle \varphi _{p}(\mathrm {X} )=\varphi (\mathrm {X} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb7ad02e001f9b6aa8a8cd9f7c41720c3aba710)
.
Nous poserons
et
![{\displaystyle \varphi _{p}(b)=\varphi (b)=f(b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88d08a5956a1edd01a5a5b9ffc9b368257f9ce0f)
.
Les points en lesquels
est ainsi définie, les points
et
mis à part, se répartissent naturellement en ensembles fermés ;
sera l’ensemble de ceux des points
appartenant à tous les
, pour lesquels
est inférieur à
, et n’appartenant pas à
, auxquels s’applique notre définition de
.
Les différents
sont à la distance
au moins les uns des autres, donc il y en a au plus
qui existent effectivement. Chacun d’eux se décompose par la considération des intervalles
en un nombre fini d’ensembles fermés et, sur chacun de ceux-ci,
, donc
, est constante.
Finalement
est définie par la condition d’être constante sur un nombre fini d’ensembles fermés séparés les uns des autres ; donc on peut compléter la définition de
dans
de façon que
soit continue dans tout
.
Il est clair que
est la limite des fonctions
quand
augmente indéfiniment ; en tout point
on a en effet
à partir d’une certaine valeur de
que l’on détermine ainsi :