Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/229

213

LA TOTALISATION.

valles contigus à $\mathrm {E} _{\omega }$ de la connaissance de ${\mathrm {F} (x)}$ dans les intervalles contigus aux $\mathrm {E} _{n}$, par passage à la limite.

D’une façon plus générale, si les opérations d’indices inférieurs à $\alpha$ n’ont pas donné ${\mathrm {F} (x)}$ dans tout ${(a,b)}$, l’opération $\mathrm {O} _{\alpha }$ se définit comme il suit :

Si $\alpha$ est fini ou transfini de première espèce, l’opération $\mathrm {O} _{\alpha }$ est celle qui consiste à calculer ${\mathrm {F} (x)}$ dans les intervalles contigus à un ensemble fermé $\mathrm {E} _{\alpha }$ que l’on obtient comme ensemble $\mathrm {H}$ quand on fait jouer à $\mathrm {E} _{\alpha +1}$ le rôle de $\mathrm {E}$ ;

Si $\alpha$ est transfini de seconde espèce, les ensembles $\mathrm {E} _{\beta }$ pour ${\beta <\alpha }$ existent tous ; il y a des points communs à tous ces $\mathrm {E} _{\beta }$ ; ces points forment un ensemble fermé $\mathrm {E} _{\alpha }$ ; l’opération $\mathrm {O} _{\alpha }$ consiste en la détermination, par passage à la limite, de ${\mathrm {F} (x)}$ dans les intervalles contigus à $\mathrm {E} _{\alpha }$.

Cette suite finie ou transfinie d’opérations, qui constitue la totalisation, a été imaginée par M. A. Denjoy. Il est clair que la suite d’ensembles fermés $\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {E} _{2}$, …, tous différents de ceux qui les précèdent et contenus dans ceux-ci, ne peut contenir qu’un nombre fini ou une infinité dénombrable de termes, donc, la totalisation permet, dans tous les cas, de déterminer la fonction primitive d’une fonction dérivée connue, dans tout l’intervalle où cette dérivée est donnée.

Nous reviendrons plus loin sur l’opération de totalisation et sur la recherche des fonctions primitives des nombres dérivés ; pour le moment, nous allons modifier notre procédé opératoire, en en conservant toutefois la référence transfinie qui en est l’essentiel, et nous arriverons ainsi à trouver les fonctions primitives des dérivées sans utiliser la notion d’intégrale de fonction sommable^[1]. Le procédé généralise celui de la page 95.

1. La possibilité de se passer de cette notion est certaine, puisqu’on peut toujours remplacer une intégrale par une des sommes qui sert à sa définition choisie de manière à ne commettre qu’une erreur aussi petite que l’on veut, puis passer à la limite ; seulement, il s’agit alors toujours d’un emploi de l’intégrale, mais d’un emploi masqué.

   Le procédé qui va être indiqué, et que j’ai fait connaître dans un article des Acta Mathematica (t. 49), s’écarte plus sensiblement de la totalisation telle qu’elle vient d’être exposée et se rapproche au contraire de la construction de la démonstration de la condition suffisante du théorème de M. Baire.