De là on déduit encore que toutes les fois que les conditions a. et b. sont remplies, c. en résulte. La seule différence, c’est que l’intervalle contenant des points de , ne sera défini par la condition que soit borné pour point de et de , que si est parfait ; si n’est pas parfait, on prendra pour un intervalle contenant à son intérieur un seul point de .
Ainsi la totalisation permet encore le calcul de quand on ne connaît la valeur finie de l’un de ses nombres dérivés qu’exception faite des points d’un ensemble dénombrable.
Il y a à faire une distinction entre les résultats de ce paragraphe et du précédent. L’opération fondamentale de la totalisation consiste, un ensemble fermé étant donné, et la fonction à obtenir étant déjà connue à une constante additive près dans les intervalles contigus à , à déterminer un intervalle contenant des points de et pour lequel , existent. Mais pour le cas où est une dérivée nous avons pu astreindre à être de plus tel que soit bornée sur la partie de située dans et, si est un nombre dérivé supérieur, nous avons pu astreindre à être de plus tel que soit bornée supérieurement sur . Ainsi il y a des modes de totalisations spéciales à côté de la totalisation générale, c’est-à-dire celle dans laquelle on ne requiert que la sommabilité de sur et que la convergence — donc la convergence absolue — de . C’est celle-ci que nous allons étudier.
IV. — La totalisation.
Reprenons d’abord, afin de bien préciser, la définition de la suite finie ou transfinie d’opérations qui constitue la totalisation. Cette suite d’opérations est effectuée à partir d’une fonction donnée , supposée partout finie[1] dans , est la fonction à totaliser ; si les opérations qui vont être indiquées sont
- ↑ Tout à l’heure nous avons négligé les points où était infini, donc pris en ces points.