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CHAPITRE X.
Puisque ne contient pas tout , on peut trouver un intervalle entièrement intérieur à un intervalle contigu à et dans lequel il y a des points de , donc de .
Soit la partie de située dans ; soit aussi la partie de située dans . Désignons par les divers intervalles contenus dans et contigus à , et soit la partie de entièrement intérieure à . On a
,
les ensembles du second membre étant sans points communs deux à deux. Or, puisque dans il n’y a pas de points de , l’opération fait connaître dans , donc dans toute portion de . est donc sommable sur , donc aussi sur et sur les , et l’on a
.
La série des accroissements de dans les intervalles contigus à , et contenus dans est donc convergente, donc aussi les séries .
Et l’on a
;
ce que l’on peut écrire, puisque la convergence de la série nécessite son absolue convergence,
Or, si a été fournie par une opération antérieure à , n’existe pas, le signe se réduit à , et