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LA TOTALISATION.

Il résulte de là en particulier qu’une fonction totalisable $f(x)$ est presque partout égale au nombre dérivé supérieur à droite de sa totale indéfinie, dans l’ensemble des points où ce nombre dérivé est fini.

On a naturellement les mêmes énoncés pour les quatre nombres dérivés.

Mais, on va le voir, il existe des totales indéfinies dont les nombres dérivés sont infinis en des ensembles de points de mesures non nulles.

Soit, en effet, $\mathrm {P}$ un ensemble fermé partout non dense et de mesure non nulle ; numérotons les intervalles contigus à $\mathrm {P}$ de façon quelconque.

Plaçons successivement sur ${(a,b)}$ ces intervalles $u_{1}$, $u_{2}$, …. Chaque intervalle $u_{i}$ sera ainsi placé dans un intervalle $u^{i}$ qui est l’un de ceux que l’on obtiendrait en retranchant $u_{1}$, $u_{2}$, …, $u_{i-1}$ de ${(a,b)}$ ; soit $\rho _{i}$ la longueur de $u^{i}$. Le nombre $\rho _{i}$ sera infiniment petit avec ${\frac {1}{i}}$.

Prenons ${\mathrm {F} (x)}$ nulle aux points de $\mathrm {P}$ et égale dans chaque $u_{i}$ à une fonction continue dont la dérivée est continue, s’annule aux extrémités de $u_{i}$ et est de valeur absolue maximum égale à ${\sqrt {\rho _{i}}}$.

Il est clair que ${\mathrm {F} (x)}$ est continue, puisque ${\sqrt {\rho _{i}}}$ tend vers zéro avec ${\frac {1}{i}}$ ; ${\mathrm {F} (x)}$ est la totale indéfinie de la fonction nulle sur $\mathrm {P}$ et égale à ${\mathrm {F} '(x)}$ en dehors de $\mathrm {P}$.

Soit $\xi$ un point de $\mathrm {P}$ qui ne soit ni origine, ni extrémité d’un intervalle contigu à $\mathrm {P}$. $\xi$ se trouve dans une suite d’intervalles $u^{i_{1}}$, $u^{i_{2}}$, …. En tant que point de $u^{i_{j}}$ on peut affirmer que, pour $x$ convenablement choisi dans $u_{i_{j}}$, on a

$|r[\mathrm {F} (x),\xi ,x]|={\frac {\sqrt {\rho _{i_{j}}}}{|\xi -x|}}>{\frac {1}{\sqrt {\rho _{i_{j}}}}}$.

Donc en $\xi$ l’un au moins des quatre nombres dérivés de ${\mathrm {F} (x)}$ est infini et puisque l’ensemble des $\xi$ est de même mesure que $\mathrm {P}$, donc de mesure non nulle, il y a l’un déterminé des quatre nombres dérivés de ${\mathrm {F} (x)}$ qui est infini en un ensemble de points de mesure non nulle. Et cependant ${\mathrm {F} (x)}$, ayant zéro pour dérivée prise sur $\mathrm {E}$ en tout point de $\mathrm {E}$, a une dérivée approximative nulle presque partout sur $\mathrm {E}$.