II. — Les fonctionnelles linéaires.
Nul, depuis Stieltjès, ne s’était occupé de l’intégration d’une fonction par rapport à une fonction quand, en 1909, M. F. Riesz nous révéla que pourtant cette notion avait été l’objet d’assez nombreuses recherches mais sous un autre nom, sous le nom d’opération fonctionnelle linéaire.
Une opération fonctionnelle linéaire est celle qui associe à chaque fonction , appartenant à une certaine classe de fonctions, un nombre tel que l’on ait :
![{\displaystyle {\mathrm {A} [f(x)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff543184125ec9d3abdde870de657e8d5f935eb)
1o |
; | |
2o |
, |
![{\displaystyle \mathrm {A} [f_{1}(x)+f_{2}(x)]=\mathrm {A} [f_{1}(x)]+\mathrm {A} [f_{2}(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec96770f2af5c7735418886b5067a9755c47d91)
![{\displaystyle \mathrm {A} [f(x)]\leqq \mathrm {M} \times \max {|f(x)|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dd1a77a07295b4ed5dbf682200fa24a8c9c1158)
étant un nombre fixe.
La fonctionnelle[1] fournie par l’opération linéaire est dite elle-même linéaire.
Ce sont surtout des questions de physique mathématique qui ont conduit à la notion de fonctionnelle linéaire ; la classe de fonctions qui se présentait alors, variable avec les questions, contenait toujours les fonctions continues mais aussi souvent divers types de fonctions discontinues. De sorte que le problème de l’extension du champ d’application des opérations fonctionnelles linéaires était virtuellement posé. Or cette extension sera acquise grâce à la généralisation précédente de la notion d’intégrale de Stieltjès et au théorème de M. Riesz.
Parmi les fonctionnelles linéaires définies dans le champ des fonctions continues se trouvent celles de la forme
aussi s’est-on adressé à des expressions de cette forme quand on a
- ↑ Les mots fonction de fonction prêtant à équivoque, M. Volterra avait appelé fonction de ligne les nombres tels que ; l’expression fonctionnelle proposée par M. Hadamard a généralement prévalu.
(C. R. Ac. Sc., 1909) l’extension de la notion d’intégrale de Stieltjès par les procédés qui viennent d’être indiqués, présentés parfois sous des formes légèrement différentes.
