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CHAPITRE XI.
à à être enfermé dans et tel que
,
notre formule deviendra
,
Montrons que la série qui y figure est absolument convergente ; soit la mesure, par rapport à , de ceux des intervalles de la chaîne dont les origines sont points de , soit la mesure de ces mêmes intervalles par rapport à . En groupant les valeurs absolues des termes de la série, on voit que leur somme est au plus
,
laquelle quantité est au plus égale à
La série étant absolument convergente, on en peut grouper les termes et écrire
.
Montrons que, lorsqu’on fait tendre et vers zéro, on peut remplacer sous le signe chaque par sa limite . La série du second membre ayant ses termes qui varient moins que ceux de la dérivée , il suffit de justifier le passage à la limite pour cette série. Or, on a
,
d’où
,
l’indice indiquant que la première sommation ne doit être étendue qu’aux termes positifs.
Pour tendant vers zéro, le premier membre tend en croissant vers ; le dernier membre est ; donc la limite de , pour et tendant vers zéro, est . En d’autres termes, on peut passer à la limite