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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.
faisons de même pour . Il reste à diviser ; prenons comme points de divisions les points , , …, ; étant un entier quelconque. Dans , , … nous prenons des points en lesquels a respectivement les valeurs , , …, . Dans nous prenons en . Alors on a
,
étant la contribution des intervalles , , laquelle ne dépend pas du choix de . Or, pour assez grand, le second terme du second membre surpasse toute limite ; donc est aussi grand qu’on le veut. La définition de Stieltjès ne s’applique donc pas à et .
Ainsi nous ne savons plus attacher à chaque fonction continue une intégrale par rapport à , quand est à variation non bornée.
Le problème des fonctions primitives ne se posera d’ailleurs plus pour toutes les fonctions continues .
Prenons ; la fonction est croissante dans les intervalles
,
décroissantes dans les intervalles
.
Prenons continue dans (0, 1), nulle dans les , positive dans les ; cela sera possible même si l’on exige que l’intégrale ait une valeur pourvu que tende vers zéro plus rapidement que l’accroissement de dans . Prenons