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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

Si ${(l,m)}$ est un intervalle contigu à $\mathrm {E}$, ${\mathrm {G} (x)}$ y est linéaire et y admet, par rapport à ${\beta (x)}$, une dérivée connue

${\frac {\mathrm {G} (m)-\mathrm {G} (l)}{\beta (m)-\beta (l)}}={\frac {\mathrm {F} (m)-\mathrm {F} (l)}{\alpha (m)-\alpha (l)}}$.

Aux points de $\mathrm {E}$ on a ${\mathrm {F} =\mathrm {G} }$, ${\alpha =\beta }$, d’où il résulte facilement que $\mathrm {G}$ admet en ces points $f(x)$ pour dérivée par rapport à ${\beta (x)}$. Ceci n’est toutefois vrai que pour la dérivée à gauche aux points $l$, à droite aux points $m$ ; la dérivée à droite, en $l$, à gauche en $m$, a été calculée plus haut.

Ainsi, dans $i$, nous connaissons la dérivée de ${\mathrm {G} (x)}$ par rapport à la fonction à variation bornée ${\beta (x)}$. Cette dérivée est finie et déterminée, exception faite des points d’un ensemble dénombrable $\mathrm {D} _{x}$ en lesquels il existe une dérivée à droite et une dérivée à gauche finies et connues.

Les conditions dans lesquelles nous nous trouvons placés sont donc un peu plus générales que celles examinées précédemment, mais rien d’essentiel ne sera changé. Quand la dérivée $f(x)$ existe partout, nous en déduisons que la fonction ${{\mathcal {G}}(v)}$ provenant de ${\mathrm {G} (x)}$ a un nombre dérivé supérieur à droite fini, sauf peut-être aux points d’un ensemble dénombrable $\mathrm {D}$. Il nous faut maintenant dire, sauf aux points de ${\mathrm {D} +\mathrm {D} _{v}}$, $\mathrm {D} _{v}$ étant le transformé de $\mathrm {D} _{x}$. Si tous les points de $\mathrm {D} _{x}$ sont des points de continuité de ${\alpha (x)}$, $\mathrm {D} _{v}$ est dénombrable et rien n’est changé à nos conclusions antérieures ; nous n’aurions même pas besoin de savoir qu’aux points de $\mathrm {D} _{x}$ les nombres dérivés de ${\mathrm {G} (x)}$ sont finis. Si $x_{0}$ est un point de discontinuité de ${\beta (x)}$ appartenant à $\mathrm {D} _{x}$, à ce point correspond, dans $\mathrm {D} _{v}$, les deux intervalles^[1] ${\left[\mathrm {V} (x_{0}-0),\mathrm {V} (x_{0})\right]}$, ${\left[\mathrm {V} (x_{0}),\mathrm {V} (x_{0}+0)\right]}$ ; mais grâce aux dérivées à droite et à gauche en $x_{0}$, ${f_{d}(x_{0})}$, ${f_{g}(x_{0})}$, qui sont connues, on connaît ${{\mathcal {G}}(v)}$ dans ces deux intervalles, et l’on sait que ${{\mathcal {G}}(v)}$ y a en tout point une dérivée à droite finie et connue. Ainsi rien d’essentiel n’est changé ; ${{\mathcal {G}}(v)}$ a en tout point, sauf au plus un ensemble dénombrable de points, un nombre dérivé supérieur à droite fini, ${{\mathcal {G}}(v)}$ est une

1. ${\mathrm {V} (x)}$ désigne ici la variation totale de ${\beta (x)}$ et non de ${\alpha (x)}$ ; pour la fonction particulière ${\beta (x)}$ du texte et l’ensemble spécial $\mathrm {D} _{x}$, l’un des deux intervalles considérés n’existe pas. ${\beta (x)}$ est, en effet, continue à droite en $l$, à gauche en $m$.