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NOTE.

nous allons définir sont ceux qui servent à noter l’ordre des éléments de ces suites. Considérons une de ces suites $\mathrm {S}$ ; elle contient un élément venant avant tous les autres que nous appellerons le premier et que nous pourrons noter avec l’indice 1, $u_{1}$. Puis, si $\mathrm {S}$ ne se réduit pas à $u_{1}$, la suite ${\mathrm {S} -u_{1}}$, aura un premier élément qu’on appellera le deuxième élément de $\mathrm {S}$ et qu’on notera $u_{2}$. Si ${\mathrm {S} -u_{1}-u_{2}}$ existe, on en déduira l’existence d’un troisième élément de $\mathrm {S}$, etc.

La place dans la suite, des éléments ainsi rencontrés se caractérise donc à l’aide des adjectifs ordinaux habituels ou des entiers jouant le rôle de nombres ordinaux.

Mais si la suite $\mathrm {S}$ n’est pas épuisée en même temps que la suite des entiers, il faudra utiliser de nouveaux symboles pour noter la place des éléments restants ; nous conviendrons de noter $u_{\omega }$ le premier élément de la suite ${\mathrm {S} -u_{1}-u_{2}-\ldots }$, de noter $u_{\omega +1}$ le premier élément de${\mathrm {S} -u_{1}-u_{2}-\ldots -u_{\omega }}$. Ces nouveaux symboles sont appelés les nombres transfinis de la première classe numérique de nombres transfinis ; nous dirons seulement les nombres transfinis. En somme, les nombres transfinis sont les indices différents que nous imaginions tout à l’heure utilisés pour distinguer les dérivés successifs, ils servent pour toutes les suites^[1]. Les éléments des suites seront donc notés $u_{\alpha }$, $\alpha$ étant un nombre fini ou transfini. Les nombres $\alpha$ forment eux-mêmes une suite, quand on convient de dire que $\alpha$ est avant $\beta$, quand $\alpha$ sert à noter un élément qui vient avant celui noté à l’aide de $\beta$. Par analogie avec le cas où les nombres sont finis — et où par suite ces nombres ont à la fois une signification ordinale et cardinale, — on dit aussi que $\alpha$ est plus petit que $\beta$, et l’on écrit ${\alpha <\beta }$, quand $\alpha$ est avant $\beta$.

Pour constituer la suite des nombres transfinis, il suffirait de donner un procédé permettant de former le nombre qui vient immédiatement après un nombre fini ou dénombrable de nombres finis ou transfinis donnés. On pourrait convenir, par exemple, que le nombre suivant $\alpha$, $\beta$, … se notera ${(\alpha ,\beta ,\ldots )}$. Avec cette convention, il y aurait plusieurs notations pour le même nombre, mais peu importe. Il est bien clair aussi que l’écriture des symboles avec cette convention serait impossible puisqu’elle nécessiterait une infinité de traits ; laissons de côté cette question d’une numération pour les nombres transfinis, elle est accessoire pour nous ; nous y reviendrons d’ailleurs plus loin.

IV. L’ensemble des nombres transfinis n’est pas dénombrable. — En effet, s’il était dénombrable, il suffirait d’ajouter à la suite $\mathrm {S} _{0}$ des nombres finis et transfinis un nouveau symbole, que l’on conviendrait de placer

1. Les nombres transfinis ainsi conçus sont les nombres transfinis ordinaux. Cantor considère aussi des nombres transfinis cardinaux qui lui servent à noter des puissances d’ensembles.