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NOTE.

même pour toutes les suites semblables. Car il résulte immédiatement du fait que la correspondance entre les éléments successifs de deux suites est déterminée, que si $\mathrm {S}$ est semblable à $\mathrm {T}$ et $\mathrm {T}$ à $\mathrm {U}$, $\mathrm {S}$ est semblable à $\mathrm {U}$ et que la correspondance établie directement entre les éléments de $\mathrm {S}$ et $\mathrm {U}$ est en accord avec celle qu’on pourrait établir par l’intermédiaire de $\mathrm {T}$.

Ce nombre $\alpha$ est dit le type d’ordre de la suite dénombrable $\mathrm {S}$ ; il nous donne sur $\mathrm {S}$ des renseignements exactement analogues à ceux que nous connaissons sur une suite finie quand nous savons qu’elle contient 10 éléments^[1]. C’est comme types d’ordre que G. Cantor a introduit les nombres transfinis^[2].

Il y a lieu de faire, entre les divers nombres transfinis, une différence essentielle. Les uns, ceux qui sont dits de première espèce, suivent immédiatement un nombre transfini, c’est-à-dire qu’ils sont les types d’ordre de suites ayant un dernier terme, les autres sont dits de deuxième espèce. Si $\alpha$ est de première espèce, il y a un nombre transfini que l’on peut noter ${\alpha -1}$ ; cette notation ne s’applique à aucun nombre, si $\alpha$ est de seconde espèce. $\omega$ est de seconde espèce, ${\omega +1}$ est de première espèce.

III. — Les ensembles de points.

Nous venons de concevoir logiquement un ensemble $\mathrm {S} _{0}$ de nombres finis transfinis qui est dénombrable ; mais il n’est pas certain que cet ensemble soit tout entier utile. Montrons donc, par des exemples, qu’un segment de $\mathrm {S} _{0}$ ne peut suffire, ni pour numéroter tous les dérivés des ensembles de points, ni pour fournir les types d’ordre de toutes les suites de points. Ces exemples ne seront pas effectivement construits ; on montrera seulement qu’il y aurait absurdité à admettre qu’on sera arrêté au cours de la construction de ces exemples. G. Cantor a fréquemment utilisé ce procédé de preuve.

Supposons donc que nous ayons construit des ensembles $\mathrm {A} _{1}$, $\mathrm {A} _{2}$, …, $\mathrm {A} _{\omega }$, $\mathrm {A} _{\omega +1}$, …, pour lesquels les dérivés se numérotent respectivement à l’aide des segments de $\mathrm {S} _{0}$ dont le dernier terme est le nombre 1, le nombre 2, …, le nombre $\omega$, le nombre $\omega +1$, …. Et ceci pour tous les nombres d’un certain segment $\Sigma$ de $\mathrm {S} _{0}$. Si $\alpha$ est le premier terme de la suite $\mathrm {S} _{0}$ après $\Sigma$, nous voulons construire un ensemble $\mathrm {A} _{\alpha }$ pour lequel le numérotage des dérivés exige tous les nombres de $\mathrm {S} _{0}$ jusques et y compris $\alpha$.

Si $\alpha$ est de première espèce, c’est-à-dire si ${\alpha -1}$ existe, nous prendrons ${\mathrm {A} _{\alpha }=\mathrm {A} [\mathrm {A} _{\alpha -1},\mathrm {A} _{\alpha -1},\ldots ]}$ ; si $\alpha$ est de seconde espèce, c’est-à-dire

1. On remarquera que si nous appliquions la définition précédente du type d’ordre aux suites finies, ce serait le nombre 11 qui serait le type d’ordre d’une suite de 10 éléments.
2. Ses principaux Mémoires à ce sujet se trouvent dans les Math. Ann., Bd 46 et Bd 49. Ces Mémoires ont été traduits par F. Marotte (Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis, Hermann, 1899).