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SUR LES NOMBRES TRANSFINIS.

éléments sont des ensembles fermés, tous différents, chacun d’eux contenant ceux qui viennent après lui dans la suite. Nous savons (p. 324), qu’une telle suite est finie ou dénombrable. Or, dans les questions étudiées, la suite ne peut s’arrêter que lorsqu’on arrive à un ensemble ne contenant aucun point ou parfait et la démonstration des théorèmes se réduit à prouver que, dans certaines conditions, la suite ne se termine pas par un ensemble parfait. Tout revient donc à caractériser l’ensemble parfait qui pourrait se présenter par une propriété de ses points.

Je ne m’occuperai ici que du théorème de Cantor-Bendixson^[1] ; dans ce cas, il saute aux yeux que les points de l’ensemble parfait $\mathrm {P}$ sont caractérisés par le fait d’être ceux au voisinage desquels il y a une infinité non dénombrable de points de l’ensemble.

Ceci aperçu, appelons point d’accumulation d’un ensemble $\mathrm {E}$ tout point $x$ tel que dans tout intervalle contenant $x$ à son intérieur, il y ait une infinité non dénombrable de points de $\mathrm {E}$ ^[2].

Le théorème de Bolzano-Weierstrass suggère l’énoncé suivant : tout ensemble $\mathrm {E}$ , qui est non dénombrable dans ${(a,b)}$ , y admet des points d’accumulation. En effet, soit $x$ la plus petite valeur de ${(a,b)}$ telle qu’il n’y ait qu’une infinité dénombrable au plus de points de $\mathrm {E}$ dans ${(a,x-h)}$ et qu’il y en ait une infinité non dénombrable dans ${(a,x+h)}$ quel que soit ${h>0}$ . Un tel point existe bien ; or, dans ${(x-h,x+h)}$ il y a une infinité non dénombrable de points de $\mathrm {E}$ ; donc $x$ est un point d’accumulation de $\mathrm {E}$ .

↑ J’ai donné plusieurs démonstrations du théorème de M. Baire sans employer le transfini (Bull. de la Soc. math. de France, 1904. — Note II des Leçons de M. Borel, Sur les fonctions de variable réelle. — Journ. de Math., 1905) ; ces démonstrations consistaient surtout, conformément à ce qui est dit dans le texte, en la définition d’un ensemble parfait.
M. E. Lindelöf (Acta mathematica, t. 29) et moi-même (dans la première édition de ce livre) avons à peu près simultanément montré que le théorème de Cantor-Bendixson pouvait être tiré de la notion de ce que M. Lindelöf appelle un point de condensation. Je crois qu’on dit plus souvent maintenant point d’accumulation, c’est cette dénomination que j’adopte.

Dans mon exposé, comme j’arrivais simultanément aux théorèmes VI et VII, il apparaissait mal que la démonstration du théorème VII était indépendante des nombres transfinis. J’adopte ici, à peu près, l’exposé de M. Lindelöf préférable au mien à bien des égards ; c’est-à-dire que je ne m’occupe que du théorème VII.

En donnant ces méthodes, j’avais indiqué l’intérêt que présentent les démonstrations tirées du transfini parce qu’elles fournissent des procédés opératoires réguliers, permettant non seulement de démontrer les théorèmes, mais aussi de résoudre les problèmes (Journ. de Math., 1905, p. 183 ; C. R. Acad. Sc., 1903).

Les dénominations théorème et problème, qui concrétisent si heureusement les distinctions à faire, sont dues à M. de la Vallée Poussin.
↑ Je me place donc dans le cas des ensembles de points sur une droite comme nous l’avons toujours fait jusqu’ici, mais le raisonnement s’étend à l’espace à $n$ dimensions.

[1] J’ai donné plusieurs démonstrations du théorème de M. Baire sans employer le transfini (Bull. de la Soc. math. de France, 1904. — Note II des Leçons de M. Borel, Sur les fonctions de variable réelle. — Journ. de Math., 1905) ; ces démonstrations consistaient surtout, conformément à ce qui est dit dans le texte, en la définition d’un ensemble parfait.
M. E. Lindelöf (Acta mathematica, t. 29) et moi-même (dans la première édition de ce livre) avons à peu près simultanément montré que le théorème de Cantor-Bendixson pouvait être tiré de la notion de ce que M. Lindelöf appelle un point de condensation. Je crois qu’on dit plus souvent maintenant point d’accumulation, c’est cette dénomination que j’adopte.

Dans mon exposé, comme j’arrivais simultanément aux théorèmes VI et VII, il apparaissait mal que la démonstration du théorème VII était indépendante des nombres transfinis. J’adopte ici, à peu près, l’exposé de M. Lindelöf préférable au mien à bien des égards ; c’est-à-dire que je ne m’occupe que du théorème VII.

En donnant ces méthodes, j’avais indiqué l’intérêt que présentent les démonstrations tirées du transfini parce qu’elles fournissent des procédés opératoires réguliers, permettant non seulement de démontrer les théorèmes, mais aussi de résoudre les problèmes (Journ. de Math., 1905, p. 183 ; C. R. Acad. Sc., 1903).

Les dénominations théorème et problème, qui concrétisent si heureusement les distinctions à faire, sont dues à M. de la Vallée Poussin.

[2] Je me place donc dans le cas des ensembles de points sur une droite comme nous l’avons toujours fait jusqu’ici, mais le raisonnement s’étend à l’espace à $n$ dimensions.

[1]

[2]