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CHAPITRE IV.

LES FONCTIONS À VARIATION BORNÉE.

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I. — Les fonctions à variation bornée.

La notion de mesure linéaire est une généralisation de la notion de longueur d’un segment, une autre généralisation conduit à la définition de la longueur d’un arc de courbe. En étudiant les questions relatives à la rectification des courbes, nous aurons l’occasion d’appliquer quelques-uns des résultats que nous avons obtenus sur l’intégrale ; nous verrons, en même temps, l’importance d’une classe de fonctions définies par Jordan : les fonctions à variation bornée.

Soit une fonction $f(x)$ bornée^[1] définie dans un intervalle positif fini ${(a,b)}$. Partageons ${(a,b)}$ à l’aide des points

$a_{0}=a\leqq a_{1}\leqq a_{2}\leqq \ldots \leqq a_{n}=b$ ;

la somme

$v=\left\vert f(a_{1})-f(a_{0})\right\vert +\left\vert f(a_{2})-f(a_{1})\right\vert +\ldots +\left\vert f(a_{n})-f(a_{n-1})\right\vert$

est ce que l’on appelle la variation de $f(x)$ pour le système de points $a_{0}$, $a_{1}$, …, $a_{n}$. Si, quel que soit le système des points de division, $v$ est bornée, la fonction est dite à variation totale finie ou, simplement, à variation bornée. La variation totale finie ou infinie est, par définition, la plus grande limite de $v$, quand le maximum $\lambda$ de la longueur des intervalles partiels employés tend vers zéro. Il est à remarquer que si, entre les points de division choisis, on intercale de nouveaux points, on augmente $v$ ou, du moins, on ne le diminue pas ; en intercalant ainsi indéfiniment de nouveaux points, de manière que $\lambda$ tende vers zéro, on a une suite

1. Il est d’ailleurs évident qu’une fonction non bornée ne peut satisfaire aux définitions qui suivent.