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LES FONCTIONS À VARIATION BORNÉE.
intervalle contigu à , prend la même valeur ; nous assujettissons à rester constante dans un tel intervalle. est maintenant partout définie ; c’est une fonction non décroissante et, cependant, on trouvera zéro pour , si, parmi les points de division employés, se trouvent les points de .
On a vu que la variation totale finie ou non d’une fonction est la limite supérieure des nombres pour cette fonction, donc aussi de ses nombres . Montrons que, si la variation totale de est infinie, il y a des ensembles réductibles pour lesquels les nombres correspondants sont infinis.
Supposons qu’il s’agisse de l’intervalle et faisons croître de à . Si, de à , est à variation bornée, est a fortiori à variation bornée de à ; donc, quand parcourt , atteint une valeur qui est soit la première telle que la variation totale de à soit infinie, soit la dernière pour laquelle cette variation est finie ; pourra d’ailleurs être confondu avec , ou avec .
Dans le premier cas envisagé sera à variation totale non bornée dans tout intervalle ; dans le second cas sa variation totale serait infinie dans tout intervalle . Plaçons-nous, par exemple, dans la seconde hypothèse. Nous pourrons choisir dans des points , tels que la variation dans pour ce système de points surpasse , étant l’oscillation de dans . On a donc
,
;
donc
.
Choisissons dans des points , tels que la variation dans calculée à l’aide de ces points surpasse ; puis, dans des points
,
tels qu’ils donnent pour la variation dans une valeur supérieure à , et ainsi de suite.
Il est clair que l’ensemble formé du point et de cette suite