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LES FONCTIONS À VARIATION BORNÉE.
intervalle contigu à
,
prend la même valeur ; nous assujettissons
à rester constante dans un tel intervalle.
est maintenant partout définie ; c’est une fonction non décroissante et, cependant, on trouvera zéro pour
, si, parmi les points de division employés, se trouvent les points de
.
On a vu que la variation totale finie ou non d’une fonction est la limite supérieure des nombres
pour cette fonction, donc aussi de ses nombres
. Montrons que, si la variation totale de
est infinie, il y a des ensembles réductibles
pour lesquels les nombres
correspondants sont infinis.
Supposons qu’il s’agisse de l’intervalle
et faisons croître
de
à
. Si, de
à
,
est à variation bornée,
est a fortiori à variation bornée de
à
; donc, quand
parcourt
,
atteint une valeur
qui est soit la première telle que la variation totale de
à
soit infinie, soit la dernière pour laquelle cette variation est finie ;
pourra d’ailleurs être confondu avec
, ou avec
.
Dans le premier cas envisagé
sera à variation totale non bornée dans tout intervalle
; dans le second cas sa variation totale serait infinie dans tout intervalle
. Plaçons-nous, par exemple, dans la seconde hypothèse. Nous pourrons choisir dans
des points
, tels que la variation
dans
pour ce système de points surpasse
,
étant l’oscillation de
dans
. On a donc
![{\displaystyle \left\vert f(b_{p})-f(\xi )\right\vert +\left\vert f(b_{p-1})-f(b_{p})\right\vert +\ldots +\left\vert f(b)-f(b_{1})\right\vert >o+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7423d2d668f2ed40905331da976f65152791837b)
,
![{\displaystyle \left\vert f(b_{p})-f(\xi )\right\vert \leqq o}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d0f4c8dba6386baa91360a931def9fb7f93e067)
;
donc
![{\displaystyle \left\vert f(b)-f(b_{1})\right\vert +\left\vert f(b_{1})-f(b_{2})\right\vert +\ldots +\left\vert f(b_{p-1})-f(b_{p})\right\vert >1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/647b7c13250fba52d0a57a0b1f812eaf3b275817)
.
Choisissons dans
des points
, tels que la variation
dans
calculée à l’aide de ces points surpasse
; puis, dans
des points
![{\displaystyle b_{p+q}>b_{p+q+1}>\ldots >b_{p+q+r}>\xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1501973f6486de847f12da9b3368e355038d876)
,
tels qu’ils donnent pour la variation
dans
une valeur supérieure à
, et ainsi de suite.
Il est clair que l’ensemble
formé du point
et de cette suite