tout intervalle. Dans un intervalle quelconque , en effet, pourvu que soit assez grand, il y a plus de deux points de . Supposons qu’il y ait les trois points consécutifs , , de , étant égale à la somme pour ces trois points, aura un maximum ou un minimum, au moins, entre et , suivant que correspond à un maximum ou à un minimum.
La fonction admet tous les maxima et minima de , donc est à variation non bornée dans tout intervalle si . Au contraire si , la variation totale de étant finie et inférieure à , est à variation bornée dans tout intervalle (voir p. 51).
Occupons-nous maintenant des fonctions discontinues à variation bornée.
Voici une propriété des points singuliers, qu’il était facile d’ailleurs de mettre directement en évidence, et qui résulte immédiatement de la construction de la fonction à variation bornée la plus générale à partir de deux fonctions croissantes : tous les points de discontinuité d’une fonction à variation bornée sont de première espèce.
Soit un point de discontinuité ; la quantité
est le saut de la fonction à gauche de ;
est le saut à droite de ; enfin
est le saut au point .
Ceci posé, considérons la fonction des sauts de
où chacune des séries contient tous les qui satisfont à l’inégalité placée au-dessous du signe correspondant. On verra aisément que ces deux séries sont absolument convergentes et que, si l’on