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CHAPITRE V.

${r[f(x),\alpha ,\beta ]}$, où $\alpha$ et $\beta$ appartiennent à l’intervalle considéré ${(a,b)}$, on peut trouver $\alpha$ et $\beta$ dans ${(a,b)}$ tels que ${r[f(x),\alpha ,\beta ]}$ soit supérieur à ${\mathrm {L} -\varepsilon }$. Le maximum de $\lambda _{g}$ dans ${(\alpha ,\beta )}$, donc dans ${(a,b)}$, est par suite au moins égal à ${\mathrm {L} -\varepsilon }$. Ceci suffit pour démontrer que $\mathrm {L}$ et $\mathrm {L} '$ sont égaux.

La valeur commune de $\mathrm {L}$ et $\mathrm {L} '$ est en même temps la limite supérieure du rapport ${r[f(x),\alpha ,\beta ]}$.

La propriété énoncée pour les limites supérieure et inférieure dans un intervalle entraîne la même propriété pour les limites supérieure et inférieure en un point ; en particulier, si pour l’un des nombres dérivés ces deux limites sont égales, il en est de même pour les autres, ce qui s’énonce : Si en un point $x_{0}$ l’un des nombres dérivés est continu, il en est de même des trois autres nombres dérivés et de plus la fonction admet une dérivée pour ${x=x_{0}}$.

Voici une autre conséquence évidente : si les quatre nombres dérivés sont bornés, ils admettent la même intégrale supérieure et la même intégrale inférieure ; si l’un d’eux est intégrable, tous le sont et ils ont même intégrale.

Dans le cas des dérivées le théorème de Rolle^[1] est un cas particulier du théorème des accroissements finis ; dans le cas des nombres dérivés le théorème analogue au théorème de Rolle peut s’énoncer ainsi : Si la fonction continue $f(x)$ s’annule pour $a$ et $b$, les limites des nombres dérivés dans ${(a,b)}$ sont, ou toutes deux nulles, ou toutes deux différentes de zéro et de signes contraires.

Cet énoncé se justifie en remarquant que si $f(x)$ n’est pas constant, ${r[f(x),\alpha ,\beta ]}$ prend des valeurs positives et des valeurs négatives.

On peut aussi dire : si la fonction continue $f(x)$, non constante dans ${(a,b)}$, s’annule pour $a$ et $b$, il existe des points intérieurs à l’intervalle ${(a,b)}$ pour lesquels les deux nombres dérivés à droite (ou à gauche) sont positifs et non nuls et

1. Ce théorème s’énonce ainsi :

   Si une fonction continue $f(x)$ s’annule pour $a$ et $b$, et admet pour les points intérieurs à ${(a,b)}$ une dérivée déterminée de grandeur et de signe, finie ou non, cette dérivée s’annule dans $(a,b)$.