Nous aurons un résultat analogue toutes les fois que nous connaîtrons un ensemble solution de l’un des problèmes suivants :
D. En quel ensemble de points suffit-il de connaître la dérivée finie d’une fonction pour que cette fonction soit déterminée à une constante additive près ?
D′. En quel ensemble de points suffit-il de connaître la valeur finie du nombre dérivé supérieur à droite d’une fonction pour que cette fonction soit déterminée à une constante additive près ?
Nous venons de citer une famille d’ensembles répondant à la question : les ensembles complémentaires des ensembles réductibles ; c’est-à-dire ceux qu’on obtient en enlevant les points d’un ensemble réductible de l’intervalle considéré. On doit à Ludwig Scheeffer une solution plus générale :
Une fonction est déterminée, à une constante additive près, quand on connaît pour chaque valeur de , sauf peut-être pour celles d’un ensemble dénombrable , la valeur finie du nombre dérivé supérieur à droite de cette fonction.
Soient et les deux fonctions ayant en général le même nombre dérivé supérieur à droite fini ; nous allons démontrer que l’on a toujours
et pour cela nous démontrerons que l’égalité
(1) | , |
où est différent de zéro, est impossible. Il suffit de considérer le cas où est positif, puisque l’autre cas se réduit à celui-là par le changement de et ; de même on peut supposer .
Considérons la fonction
dans laquelle est une constante telle que