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L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

pourquoi on se borne ordinairement à la considération de $\mathrm {F} (x)$, que nous appellerons, lorsqu’un doute sera possible, l’intégrale indéfinie fonction d’une seule variable. En somme ce sont des propriétés de ${\Phi (\alpha ,\beta )}$ qu’on étudie ordinairement par l’intermédiaire de $\mathrm {F} (x)$ ; notre nouveau langage sera plus directement adapté à notre but. Seulement, comme nous avons considéré aussi l’intégrale de $f(x)$ étendue à un ensemble mesurable $\mathrm {E}$, nous devons considérer l’intégrale indéfinie de $f(x)$ comme la fonction d’ensemble

$\Psi (\mathrm {E} )=\int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x$ ;

il est sous-entendu que l’argument $\mathrm {E}$ de cette fonction doit être mesurable et formé à l’aide de points de l’intervalle ou ensemble pour les points duquel $f(x)$ est connue. Pour fixer les idées, nous supposerons toujours, sauf avis contraire, que $f(x)$ est définie dans un intervalle que nous appellerons ${(a,b)}$ ; ce qui n’entraîne en réalité aucune restriction (p. 127).

Nous considérerons donc finalement : a. l’intégrale indéfinie fonction d’ensemble, $\Psi (\mathrm {E} )$ ; b. l’intégrale indéfinie fonction d’intervalle, ${\Phi (\alpha ,\beta )=\Phi (\delta )}$, $\delta$ désignant l’intervalle ${(\alpha ,\beta )}$ ; c. l’intégrale indéfinie fonction d’une variable, $\mathrm {F} (x)$. Dans ce Chapitre nous allons examiner si la connaissance de l’une de ces fonctions entraîne la connaissance des deux autres et comment les propriétés de ces fonctions se correspondent.

Nous nous attacherons à deux propriétés de $\Psi (\mathrm {E} )$  : l’additivité complète et l’absolue continuité ; nous verrons par la suite que ces propriétés caractérisent les fonctions d’ensemble qui sont des intégrales indéfinies et par suite résument et entraînent toutes les autres propriétés.

Une fonction d’ensemble mesurable $\Psi (\mathrm {E} )$ est dite additive, si $\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {E} _{2}$, … étant des ensembles sans point commun deux à deux, on a

$\Psi (\mathrm {E_{1}+E_{2}+\ldots } )=\Psi (\mathrm {E} _{1})+\Psi (\mathrm {E} _{2})+\ldots$.

On peut distinguer, avec M. de la Vallée Poussin^[1], le cas de

1. Sur les fonctions d’ensemble, voir le Livre de M. de la Vallée Poussin, Intégrales de Lebesgue, fonctions d’ensemble, classes de Baire.