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CHAPITRE VIII.

l’additivité restreinte, dans lequel l’égalité précédente n’est assurée que si les $\mathrm {E} _{i}$ sont en nombre fini, et le cas de l’additivité complète, où l’égalité a lieu même s’il y a une infinité dénombrable de $\mathrm {E} _{i}$. L’additivité complète sera seule importante pour nous^[1]. Une intégrale indéfinie est complètement additive ; c’est la propriété 2^o de la page 130.

L’additivité complète entraîne, à elle seule, bien des propriétés. Remarquons d’abord qu’une fonction additive d’ensemble qui est non bornée a des points en lesquels elle n’est pas bornée ; il faut entendre par là qu’il existe un point $x$ tel que, si petit que soit un intervalle $\mathrm {I}$ contenant $x$ à son intérieur et si grand que soit un nombre $\mathrm {N}$, il est possible de trouver un ensemble $\mathrm {E}$ formé de points de $\mathrm {I}$ et pour lequel la fonction $\Psi (\mathrm {E} )$ considérée surpasse $\mathrm {N}$ en valeur absolue.

Si, en effet, à tout point de ${(a,b)}$ on pouvait attacher un intervalle $\mathrm {I}$ et un nombre $\mathrm {N}$ pour lequel cela soit impossible, on pourrait couvrir ${(a,b)}$ à l’aide d’un nombre fini $p$ de ces intervalles $\mathrm {I}$ et les nombres $\mathrm {N}$ correspondants auraient une borne supérieure ${\mathcal {N}}$. $\mathrm {E}$ étant un ensemble de points de ${(a,b)}$ nous pourrions le considérer comme la somme d’ensembles $\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {E} _{2}$, …, $\mathrm {E} _{p}$ situés dans les $p$ intervalles considérés et l’on aurait

${\begin{aligned}|\Psi (\mathrm {E} )|&=|\Psi (\mathrm {E} _{1}+\mathrm {E} _{2}+\ldots +\mathrm {E} _{p})|\\&=|\Psi (\mathrm {E} _{1})+\Psi (\mathrm {E} _{2})+\ldots +\Psi (\mathrm {E} _{p})|\\&\leqq |\Psi (\mathrm {E} _{1})|+|\Psi (\mathrm {E} _{2})|+\ldots +|\Psi (\mathrm {E} _{p})|\leqq p\,{\mathcal {N}}{\text{ ;}}\end{aligned}}$

$\Psi (\mathrm {E} )$ serait donc finie.

Soit $x_{0}$ un point en lequel $\Psi (\mathrm {E} )$ est non bornée et considérons

1. Le lecteur vérifiera facilement qu’une fonction $\Psi (\mathrm {E} )$ égale à la somme des longueurs des intervalles dans lesquels le complémentaire de $\mathrm {E}$ est partout non dense possède l’additivité restreinte mais non l’additivité complète.

   Jusqu’ici l’additivité restreinte ne s’est pas introduite en Analyse ; il y a pourtant lieu de la bien distinguer de l’additivité complète. Je m’explique sur un exemple. La condition 2 du problème de la mesure impose à la fonction $m(\mathrm {E} )$ l’additivité complète ; supposons au contraire que nous ayons modifié cette condition 2 de façon à n’exiger que l’additivité restreinte, la fonction n’aurait plus été définie que pour les ensembles mesurables J et cette fonction eût été l’étendue $e(\mathrm {E} )$. Remarquons que la fonction ainsi obtenue possède bien l’additivité complète dans le domaine des ensembles mesurables J, puisqu’elle ne diffère pas de $m(\mathrm {E} )$ mais la fonction $e(\mathrm {E} )$ n’est pas toujours définie pour la somme ${\mathrm {E} _{1}+\mathrm {E} _{2}+\ldots }$, quand elle est définie pour $\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {E} _{2}$, ….