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L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

rieur de ${(a,b)}$. Soient ${\mathrm {V} _{1}(x)}$, ${\mathrm {P} _{1}(x)}$, ${\mathrm {N} _{1}(x)}$ les trois variations totales de ${\mathrm {F} _{1}(x)}$ ; on va prouver que l’on a

${\mathcal {V}}(\mathrm {E} )={\mathcal {A}}_{\mathrm {V} _{1}(x)}(\mathrm {E} )$ ;${\mathcal {P}}(\mathrm {E} )={\mathcal {A}}_{\mathrm {P} _{1}(x)}(\mathrm {E} )$ ;${\mathcal {N}}(\mathrm {E} )={\mathcal {A}}_{\mathrm {N} _{1}(x)}(\mathrm {E} )$ ;

${{\mathcal {P}}(a\leqq x\leqq b)}$ est la limite supérieure des valeurs de ${{\mathcal {A}}(\mathrm {E} )}$ ; mais chaque valeur de ${{\mathcal {A}}(\mathrm {E} )}$ peut se calculer à l’aide d’un système $\mathrm {I} _{x}$ d’intervalles, donc ${{\mathcal {P}}(a\leqq x\leqq b)}$ est la limite supérieure des nombres ${{\mathcal {A}}(\mathrm {I} _{x})}$ pour les systèmes $\mathrm {I} _{x}$ d’intervalles ouverts, sauf peut-être en $a$ et $b$. D’autre part ${\mathrm {P} _{1}(b)}$ est la limite supérieure des nombres ${{\mathcal {A}}(\mathrm {J} _{x})}$ pour les systèmes $\mathrm {J} _{x}$ d’intervalles fermés. Comme en barrant d’un système $\mathrm {J} _{x}$ d’intervalles tous ceux qui donnent des ${\Delta \mathrm {F} _{1}}$ négatifs nous augmentons ${{\mathcal {A}}(\mathrm {J} _{x})}$, et qu’on peut réunir deux intervalles donnant des ${\Delta \mathrm {F} _{1}}$ non négatifs et ayant une extrémité commune, on peut supposer les intervalles $\mathrm {J} _{x}$ sans extrémités communes. Soit ${(l,m)}$ l’un de ces intervalles, ${\mathrm {F} _{1}(x)}$ étant continue à droite, l’intervalle ${l\leqq x\leqq m}$ donne le même accroissement que ${l<x\leqq m}$ et presque le même que ${l<x<m+h}$, pour $h$ très petit.

Donc ${{\mathcal {A}}(\mathrm {J} _{x})}$, pour $\mathrm {J} _{x}$ formé d’intervalles fermés, diffère aussi peu que l’on veut de ${{\mathcal {A}}(\mathrm {I} _{x})}$ pour $\mathrm {I} _{x}$ convenablement formé d’intervalles ouverts, sauf peut-être en $a$ et $b$. Et l’on a

${\mathcal {P}}(a\leqq x\leqq b)={\mathcal {A}}_{\mathrm {P} _{1}(x)}(a\leqq x\leqq b)$.

Mais on aurait eu de même

${\mathcal {P}}(a\leqq x\leqq \mathrm {X} )={\mathcal {A}}_{\mathrm {P} _{1}(x)}(a\leqq x\leqq \mathrm {X} )$,

d’où il résulterait que, dans tout intervalle $\mathrm {I}$ ouvert, fermé ou à demi fermé, on a

${\mathcal {P}}(\mathrm {I} )={\mathcal {A}}_{\mathrm {P} _{1}(x)}(\mathrm {I} )$ ;

puis on déduirait l’égalité ${\mathcal {P}}(\mathrm {E} )={\mathcal {A}}_{\mathrm {P} _{1}(x)}(\mathrm {E} )$ pour tous les ensembles mesurables B.

Les égalités analogues relatives à ${\mathcal {N}}$ et ${\mathcal {V}}$ en résultent.

Soient $\mathrm {F} _{1s}$, $\mathrm {V} _{1s}$, $\mathrm {P} _{1s}$, $\mathrm {N} _{1s}$ les fonctions des singularités de $\mathrm {F} _{1}$, $\mathrm {V} _{1}$, $\mathrm {P} _{1}$, $\mathrm {N} _{1}$ ; $\mathrm {V} _{1s}$, $\mathrm {P} _{1s}$, $\mathrm {N} _{1s}$ sont les trois variations de $\mathrm {F} _{1s}$. À ces fonctions, qui sont continues à droite à l’intérieur de ${(a,b)}$, correspondent des accroissements ${{\mathcal {A}}_{s}(\mathrm {E} )}$, ${{\mathcal {V}}_{s}(\mathrm {E} )}$, ${{\mathcal {P}}_{s}(\mathrm {E} )}$, ${{\mathcal {N}}_{s}(\mathrm {E} )}$ liés entre eux comme ${\mathcal {A}}$, ${\mathcal {V}}$, ${\mathcal {P}}$, ${\mathcal {N}}$. Ces fonctions ${\mathcal {A}}_{s}$, ${\mathcal {V}}_{s}$, ${\mathcal {P}}_{s}$, ${\mathcal {N}}_{s}$