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CHAPITRE VIII.

sont dites les fonctions des singularités de ${\mathcal {A}}$, ${\mathcal {V}}$, ${\mathcal {P}}$, ${\mathcal {N}}$. Comme $\mathrm {F} _{1s}$ est la fonction de plus petite variation totale telle que ${\mathrm {F} _{1}(x)-\mathrm {F} _{1s}(x)}$ soit absolument continue, la fonction des singularités d’une fonction ${{\mathcal {A}}(\mathrm {E} )}$, complètement additive d’ensembles mesurables B, est, parmi toutes les fonctions correctives ${{\mathcal {A}}_{s}(\mathrm {E} )}$ rendant ${{\mathcal {A}}(\mathrm {E} )-{\mathcal {A}}_{s}(\mathrm {E} )}$ absolument continues, celle qui a la plus petite variation totale.

L’ensemble des singularités de $\mathrm {F} _{1}$, pris mesurable B, est dit l’ensemble des singularités de ${{\mathcal {A}}(\mathrm {E} )}$. Ainsi, par ensemble des singularités d’une fonction ${{\mathcal {A}}(\mathrm {E} )}$ additive d’ensemble mesurable B, nous entendons tout ensemble $\mathrm {E}$, mesurable B, qui est de mesure nulle et pour lequel la fonction ${{\mathcal {V}}(\mathrm {E} )}$, variation totale de ${{\mathcal {A}}(\mathrm {E} )}$, atteint la plus grande des valeurs qu’elle peut atteindre sur des ensembles de mesure nulle.

L’ensemble des singularités de ${{\mathcal {P}}(\mathrm {E} )}$ est par conséquent un ensemble $\mathrm {E} _{s,{\mathcal {P}}}$ en lequel

${\mathcal {P}}[\mathrm {E} _{s,{\mathcal {P}}}]=\mathrm {P} _{1s}(b)={\mathcal {P}}_{s}[\mathrm {E} _{s,{\mathcal {P}}}]$ ;

pour tout ensemble $\mathrm {E}$, n’ayant aucun point commun avec $\mathrm {E} _{s,{\mathcal {P}}}$, ${{\mathcal {P}}_{s}(\mathrm {E} )}$ sera par suite nul, puisque ${{\mathcal {P}}_{s}}$ ne peut être ni négatif ni supérieur à ${\mathrm {P} _{1s}(b)}$. L’ensemble $\mathrm {E} _{s,{\mathcal {P}}}$ est l’ensemble en lequel ${{\mathcal {F}}_{s}(\mathrm {E} )}$, ou ${{\mathcal {P}}_{s}(\mathrm {E} )}$, atteint sa limite supérieure. L’ensemble $\mathrm {E} _{s,{\mathcal {N}}}$ des singularités de ${{\mathcal {N}}(\mathrm {E} )}$ est celui en lequel ${{\mathcal {F}}_{s}(\mathrm {E} )}$, ou ${-{\mathcal {N}}_{s}(\mathrm {E} )}$, atteint sa limite inférieure. L’ensemble ${\mathrm {E} _{s,{\mathcal {P}}}+\mathrm {E} _{s,{\mathcal {N}}}}$ est l’ensemble des singularités de ${{\mathcal {A}}(\mathrm {E} )}$.

L’ensemble des singularités d’une fonction ${\mathcal {A}}$ complètement additive d’ensemble mesurable B se décompose en deux ensembles sans points communs qui sont respectivement les ensembles des singularités de la variation positive de ${\mathcal {A}}$ et de sa variation négative ; nous avons vu, en effet (p. 148), que les ensembles $\mathrm {E} ^{p}$ et $\mathrm {E} ^{n}$, en lesquels une fonction [ici ${{\mathcal {F}}_{s}(\mathrm {E} )}$] atteint sa limite supérieure et sa limite inférieure, peuvent être pris sans points communs.

Ainsi les ensembles des singularités de ${\mathrm {P} _{1}(x)}$ et ${\mathrm {N} _{1}(x)}$ peuvent être pris sans points communs et l’on peut supposer qu’aucun point singulier de ${\mathrm {F} (x)}$ ne fait partie de ces ensembles, puisque ces points singuliers ne forment qu’un ensemble fini ou dénombrable. Mais pour avoir l’ensemble des singularités de ${\mathrm {F} (x)}$ il