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CHAPITRE VIII.
sont dites les fonctions des singularités de
,
,
,
. Comme
est la fonction de plus petite variation totale telle que
soit absolument continue, la fonction des singularités d’une fonction
, complètement additive d’ensembles mesurables B, est, parmi toutes les fonctions correctives
rendant
absolument continues, celle qui a la plus petite variation totale.
L’ensemble des singularités de
, pris mesurable B, est dit l’ensemble des singularités de
. Ainsi, par ensemble des singularités d’une fonction
additive d’ensemble mesurable B, nous entendons tout ensemble
, mesurable B, qui est de mesure nulle et pour lequel la fonction
, variation totale de
, atteint la plus grande des valeurs qu’elle peut atteindre sur des ensembles de mesure nulle.
L’ensemble des singularités de
est par conséquent un ensemble
en lequel
![{\displaystyle {\mathcal {P}}[\mathrm {E} _{s,{\mathcal {P}}}]=\mathrm {P} _{1s}(b)={\mathcal {P}}_{s}[\mathrm {E} _{s,{\mathcal {P}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76a4f585ee7e5bcbdee63645a520d026c77f239c)
;
pour tout ensemble
, n’ayant aucun point commun avec
,
sera par suite nul, puisque
ne peut être ni négatif ni supérieur à
. L’ensemble
est l’ensemble en lequel
, ou
, atteint sa limite supérieure. L’ensemble
des singularités de
est celui en lequel
, ou
, atteint sa limite inférieure. L’ensemble
est l’ensemble des singularités de
.
L’ensemble des singularités d’une fonction
complètement additive d’ensemble mesurable B se décompose en deux ensembles sans points communs qui sont respectivement les ensembles des singularités de la variation positive de
et de sa variation négative ; nous avons vu, en effet (p. 148), que les ensembles
et
, en lesquels une fonction [ici
] atteint sa limite supérieure et sa limite inférieure, peuvent être pris sans points communs.
Ainsi les ensembles des singularités de
et
peuvent être pris sans points communs et l’on peut supposer qu’aucun point singulier de
ne fait partie de ces ensembles, puisque ces points singuliers ne forment qu’un ensemble fini ou dénombrable. Mais pour avoir l’ensemble des singularités de
il