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CHAPITRE IX.

Si $\mathrm {E}$ n’était assujetti qu’à ces conditions, on pourrait le prendre, en particulier, réduit au point $x_{0}$ et à un intervalle $\delta$ ne contenant pas $x_{0}$ ; il faudrait donc que la dérivée apparaisse comme la limite de

${\frac {\Psi (\delta )}{m(\delta )}}=r[\mathrm {F} (x),x_{0}+h,x_{0}+h+k]$,

quand $h$ et $k$ tendent vers zéro, même par valeurs de même signe. D’après le théorème de la moyenne, le second membre est compris entre les valeurs extrêmes prises dans ${(x_{0}+h,x_{0}+h+k)}$ par la fonction $f$ dont $\mathrm {F}$ est l’intégrale indéfinie. Soit d’ailleurs un point ${x_{0}+h}$ voisin de $x_{0}$ et en lequel $\mathrm {F'}$ existe, on pourra alors trouver ${(x_{0}+h,x_{0}+h+k)}$ tel que $hk$ soit positif et aussi petit que l’on veut et que $r[\mathrm {F} (x),x_{0}+h,x_{0}+h+k]$ soit aussi voisin de ${\mathrm {F} '(x_{0}+h)}$ qu’on le voudra. Donc le procédé que nous examinons ne réussira, avec tous les intervalles $\delta$ ou tous les ensembles $\mathrm {E}$, que si $\mathrm {F'}$ est continue en $x_{0}$ dans l’ensemble des points où elle existe. D’ailleurs, dans ce cas, la fonction $f$ dont $\mathrm {F}$ est l’intégrale indéfinie pourra être supposée continue en $x_{0}$ — puisqu’elle n’est assujettie qu’à la condition d’être presque partout égale à $\mathrm {F'}$ — et par suite le procédé de définition de la dérivée à l’aide de tous les ensembles dont tous les points tendent vers $x_{0}$, peut bien alors être utilisé^[1].

Hors ce cas banal, il faut donc particulariser la famille des ensembles $\mathrm {E}$ employés, et de façon à diminuer l’influence des points en lesquels $f$ diffère beaucoup de ${\mathrm {F'} (x_{0})}$. Pour cela, $\varepsilon$ ayant été arbitrairement choisi positif, soit $\mathrm {E} _{i}$ l’ensemble des points

$\mathrm {E} [i\varepsilon \leqq f(x)<(i+1)\varepsilon ]$,

soit $f_{i}$ la fonction égale à $f$ aux points de $\mathrm {E} _{i}$ et nulle ailleurs, soit enfin ${g_{i}=f-f_{i}}$. Un ensemble de mesure nulle de points étant excepté, les intégrales indéfinies ${\int f_{i}\,\mathrm {d} x}$ et ${\int |g_{i}|\,\mathrm {d} x}$ ont des dérivées, au sens ordinaire du mot, respectivement égales aux fonctions $f_{i}$ et $|g_{i}|$. Alors, si le point non exceptionnel $x_{0}$ appartient

1. En somme, il faut et il suffit que $f$ soit continue en $x_{0}$ quand on néglige les ensembles de mesure nulle [p. 142, en note].