Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre VIII

Henri Lebesgue

Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives

Gauthier-Villars, 1928 (p. 141-173).

CHAPITRE VIII.

L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

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I. — Les trois intégrales indéfinies. Les fonctions additives d’ensemble.

Nous appellerons intégrale indéfinie de $f(x)$ l’une quelconque des fonctions

$\mathrm {F} (x)=\int _{\alpha }^{x}f(x)\,\mathrm {d} x+\mathrm {C}$,

$\mathrm {C}$ étant une constante ; l’intégrale définie de $f(x)$ dans ${(a,b)}$ est l’accroissement ${\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (a)}$ de l’intégrale indéfinie dans l’intervalle ${(a,b)}$.

Les intégrales indéfinies sont des fonctions continues. Si $f(x)$ est une fonction bornée, cela est évident en vertu du théorème des accroissements finis. Supposons ensuite $f(x)$ sommable mais non bornée, alors on peut trouver $\mathrm {N}$ assez grand pour que les intégrales de $f(x)$ dans les deux ensembles ${\mathrm {E} (f>\mathrm {N} )}$, ${\mathrm {E} (f<-\mathrm {N} )}$ soient toutes deux inférieures en module à $\varepsilon$. Posons ${f=f_{1}+f_{2}}$, $f_{1}$ étant nulle pour les deux ensembles ${\mathrm {E} (f>\mathrm {N} )}$, ${\mathrm {E} (f<-\mathrm {N} )}$ et $f_{2}$ étant nulle pour ${\mathrm {E} (-\mathrm {N} \leqq f\leqq \mathrm {N} )}$. Alors l’intégrale indéfinie de $f_{1}$ est une fonction continue ; l’intégrale de $f_{2}$ dans tout intervalle étant $2\varepsilon$, au plus, autour d’un point quelconque $x_{0}$, on peut donc trouver un intervalle dans lequel l’accroissement de $\mathrm {F} (x)$ soit au plus $3\varepsilon$, ce qui prouve que $\mathrm {F} (x)$ est continue.

Si $f(x)$ est sommable, $|f(x)|$ l’est aussi et, dans tout intervalle, l’intégrale indéfinie de $f(x)$ subit un accroissement en module au plus égal à celui de l’intégrale indéfinie de $|f(x)|$ ; puisque cette dernière intégrale existe et est croissante, donc à variation bornée, l’intégrale indéfinie de $f(x)$ est à variation bornée et sa variation totale dans ${(a,b)}$ est au plus $\left\vert \int _{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm {d} x\right\vert$.

Les propositions trouvées au Chapitre V (p. 73) relativement à la limitation des nombres dérivés de $\mathrm {F} (x)$ à l’aide des maxima et des minima de $f(x)$ sont encore exactes ; elles se démontrent de même^[1]. Ceci conduit tout naturellement à étudier la dérivation des intégrales indéfinies et la recherche des fonctions primitives ; mais, tout d’abord, nous allons donner aux mots intégrale indéfinie une signification nouvelle.

D’où vient la dénomination intégrale indéfinie ? Il est clair que dans les expressions intégrale définie et intégrale indéfinie, indéfinie n’a pas le sens de infinie mais de non définie, que définie a le sens de déterminée. Ces deux expressions devraient donc s’appliquer à la même quantité ${\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\,\mathrm {d} x}$ ; cette intégrale serait dite définie lorsque l’intervalle d’intégration ${(\alpha ,\beta )}$ serait lui-même défini, c’est-à-dire déterminé, donné et elle serait dite indéfinie lorsque ${(\alpha ,\beta )}$ serait indéfini, c’est-à-dire non défini, non déterminé, inconnu, variable. En revenant à ce sens primitif des dénominations, nous dirons donc que l’intégrale indéfinie de $f(x)$ est la fonction ${\Phi (\alpha ,\beta )}$

$\Phi (\alpha ,\beta )=\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\,\mathrm {d} x=\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )$ ;

ce sera une fonction de deux variables ou mieux une fonction de l’intervalle d’intégration ${(\alpha ,\beta )}$ ; le mot fonction signifiant ici correspondance, comme à la page 17. Mais il s’agit maintenant de faire correspondre à tout intervalle ${(\alpha ,\beta )}$ un nombre ; ${(\alpha ,\beta )}$ est la variable ou argument de notre fonction, le nombre est la valeur de la fonction. L’intégrale indéfinie est une fonction d’intervalle : toute valeur prise par cette fonction est une intégrale définie.

La relation qui lie ${\Phi (\alpha ,\beta )}$ à $\mathrm {F} (x)$ permet de traduire toute propriété de $\mathrm {F} (x)$ en propriété de ${\Phi (\alpha ,\beta )}$ et inversement, et c’est pourquoi on se borne ordinairement à la considération de $\mathrm {F} (x)$, que nous appellerons, lorsqu’un doute sera possible, l’intégrale indéfinie fonction d’une seule variable. En somme ce sont des propriétés de ${\Phi (\alpha ,\beta )}$ qu’on étudie ordinairement par l’intermédiaire de $\mathrm {F} (x)$ ; notre nouveau langage sera plus directement adapté à notre but. Seulement, comme nous avons considéré aussi l’intégrale de $f(x)$ étendue à un ensemble mesurable $\mathrm {E}$, nous devons considérer l’intégrale indéfinie de $f(x)$ comme la fonction d’ensemble

$\Psi (\mathrm {E} )=\int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x$ ;

il est sous-entendu que l’argument $\mathrm {E}$ de cette fonction doit être mesurable et formé à l’aide de points de l’intervalle ou ensemble pour les points duquel $f(x)$ est connue. Pour fixer les idées, nous supposerons toujours, sauf avis contraire, que $f(x)$ est définie dans un intervalle que nous appellerons ${(a,b)}$ ; ce qui n’entraîne en réalité aucune restriction (p. 127).

Nous considérerons donc finalement : a. l’intégrale indéfinie fonction d’ensemble, $\Psi (\mathrm {E} )$ ; b. l’intégrale indéfinie fonction d’intervalle, ${\Phi (\alpha ,\beta )=\Phi (\delta )}$, $\delta$ désignant l’intervalle ${(\alpha ,\beta )}$ ; c. l’intégrale indéfinie fonction d’une variable, $\mathrm {F} (x)$. Dans ce Chapitre nous allons examiner si la connaissance de l’une de ces fonctions entraîne la connaissance des deux autres et comment les propriétés de ces fonctions se correspondent.

Nous nous attacherons à deux propriétés de $\Psi (\mathrm {E} )$  : l’additivité complète et l’absolue continuité ; nous verrons par la suite que ces propriétés caractérisent les fonctions d’ensemble qui sont des intégrales indéfinies et par suite résument et entraînent toutes les autres propriétés.

Une fonction d’ensemble mesurable $\Psi (\mathrm {E} )$ est dite additive, si $\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {E} _{2}$, … étant des ensembles sans point commun deux à deux, on a

$\Psi (\mathrm {E_{1}+E_{2}+\ldots } )=\Psi (\mathrm {E} _{1})+\Psi (\mathrm {E} _{2})+\ldots$.

On peut distinguer, avec M. de la Vallée Poussin^[2], le cas de l’additivité restreinte, dans lequel l’égalité précédente n’est assurée que si les $\mathrm {E} _{i}$ sont en nombre fini, et le cas de l’additivité complète, où l’égalité a lieu même s’il y a une infinité dénombrable de $\mathrm {E} _{i}$. L’additivité complète sera seule importante pour nous^[3]. Une intégrale indéfinie est complètement additive ; c’est la propriété 2^o de la page 130.

L’additivité complète entraîne, à elle seule, bien des propriétés. Remarquons d’abord qu’une fonction additive d’ensemble qui est non bornée a des points en lesquels elle n’est pas bornée ; il faut entendre par là qu’il existe un point $x$ tel que, si petit que soit un intervalle $\mathrm {I}$ contenant $x$ à son intérieur et si grand que soit un nombre $\mathrm {N}$, il est possible de trouver un ensemble $\mathrm {E}$ formé de points de $\mathrm {I}$ et pour lequel la fonction $\Psi (\mathrm {E} )$ considérée surpasse $\mathrm {N}$ en valeur absolue.

Si, en effet, à tout point de ${(a,b)}$ on pouvait attacher un intervalle $\mathrm {I}$ et un nombre $\mathrm {N}$ pour lequel cela soit impossible, on pourrait couvrir ${(a,b)}$ à l’aide d’un nombre fini $p$ de ces intervalles $\mathrm {I}$ et les nombres $\mathrm {N}$ correspondants auraient une borne supérieure ${\mathcal {N}}$. $\mathrm {E}$ étant un ensemble de points de ${(a,b)}$ nous pourrions le considérer comme la somme d’ensembles $\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {E} _{2}$, …, $\mathrm {E} _{p}$ situés dans les $p$ intervalles considérés et l’on aurait

${\begin{aligned}|\Psi (\mathrm {E} )|&=|\Psi (\mathrm {E} _{1}+\mathrm {E} _{2}+\ldots +\mathrm {E} _{p})|\\&=|\Psi (\mathrm {E} _{1})+\Psi (\mathrm {E} _{2})+\ldots +\Psi (\mathrm {E} _{p})|\\&\leqq |\Psi (\mathrm {E} _{1})|+|\Psi (\mathrm {E} _{2})|+\ldots +|\Psi (\mathrm {E} _{p})|\leqq p\,{\mathcal {N}}{\text{ ;}}\end{aligned}}$

$\Psi (\mathrm {E} )$ serait donc finie.

Soit $x_{0}$ un point en lequel $\Psi (\mathrm {E} )$ est non bornée et considérons les deux intervalles ${(x_{0}-h,x_{0})}$, ${(x_{0},x_{0}+h)}$ ; il est clair que $\Psi (\mathrm {E} )$ est non bornée dans l’un des deux. Ceci étant, pour démontrer que toute fonction finie complètement additive est bornée, il nous suffira donc de considérer le cas où l’extrémité $b$ de l’intervalle considéré ${(a,b)}$^[4] est un point où une fonction $\Psi (\mathrm {E} )$ est non bornée et de montrer que $\Psi (\mathrm {E} )$ ne peut être à la fois finie et complètement additive. Soient $a$, $a_{1}$, $a_{2}$, … une suite de valeurs croissantes tendant vers $b$. Désignons par $\delta _{1}$, $\delta _{2}$, $\delta _{3}$, … les ensembles de points définis respectivement par

$a\leqq x<a_{1}$,$a_{1}\leqq x<a_{2}$,$a_{2}\leqq x<a_{3}$,….

Soient $\mathrm {N} _{1}$, $\mathrm {N} _{2}$, … les bornes supérieures de $|\Psi (\mathrm {E} )|$ respectivement pour les ensembles formés de points de $\delta _{1}$, $\delta _{2}$, …

Si $\mathrm {E}$ est un ensemble formé de points de ${(a_{k},b)}$ et si $\mathrm {E} _{i}$ est la partie commune à $\mathrm {E}$ et à $\delta _{i}$ on a, $\Psi$ étant supposée complètement additive,

$|\Psi (\mathrm {E} )|=\left\vert \Psi \!\left[{\textstyle \sum \mathrm {E} _{i}}\right]\right\vert \leqq {\textstyle \sum |\Psi (\mathrm {E} _{i})|}\leqq \sum _{k}^{\infty }\mathrm {N} _{i}$ ;

puisque $\Psi (\mathrm {E} )$ n’est pas bornée au point $b$, la série du dernier membre est divergente quel que soit $k$. Elle peut d’ailleurs contenir des termes infinis.

Soit enfin $e_{i}$ un ensemble formé de points de $\delta _{i}$ et pour lequel ${|\Psi (e_{i})|}$ surpasse le plus petit $\mathrm {M} _{i}$ des deux nombres ${\mathrm {N} _{i}-{\frac {1}{i}}}$ et $i$ ; la série $\textstyle \sum \mathrm {M} _{i}$ est divergente. Si l’on partage les $e_{i}$ en ceux qui donnent à $\Psi (e_{i})$ des valeurs positives ou nulles, et ceux pour lesquels $\Psi (e_{i})$ a des valeurs négatives, si $i'$ et $i''$ désignent respectivement les indices des premiers et des seconds, l’une au moins des séries $\textstyle \sum \mathrm {M} _{i'}$, $\textstyle \sum \mathrm {M} _{i''}$ est divergente. Supposons que la première soit divergente. Alors on a

$\textstyle \Psi (\sum e_{i'})=\sum \Psi (e_{i'})>\textstyle \sum \mathrm {M} _{i'}=+\infty$,

la fonction $\Psi$ ne peut donc être finie et complètement additive. Comme nous ne parlons que de fonctions finies d’ensemble, sauf avis exprès du contraire, nous pouvons dire simplement : toute fonction complètement additive est bornée.

Une fonction complètement additive^[5] est à variation bornée ; on entend par là qu’elle est la différence de deux fonctions complètement additives et ne prenant que des valeurs positives ou nulles. Pour le démontrer quelques définitions sont nécessaires.

Considérons les valeurs prises par une fonction complètement additive $\Psi$ pour les ensembles $e$ formés avec les points d’un ensemble $\mathrm {E}$, ces valeurs sont comprises entre $\mathrm {M}$ et $-\mathrm {M}$, $\mathrm {M}$ étant la borne supérieure de $|\Psi |$ dans tout ${(a,b)}$. Soit ${-\mathrm {N(E)} \leqq 0\leqq +\mathrm {P(E)} }$ le plus petit intervalle contenant ces valeurs de $\Psi$ et zéro. Ces deux fonctions $\mathrm {N(E)}$ et $\mathrm {P(E)}$ sont complètement additives ; vérifions-le pour $\mathrm {P(E)}$. Soient $\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {E} _{2}$, … sans points communs deux à deux, soient $e_{1}$, $e_{2}$, … formés respectivement de points de $\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {E} _{2}$, …, on a

$\Psi (e_{1}+e_{2}+\ldots )=\Psi (e_{1})+\Psi (e_{2})+\ldots \leqq \mathrm {P(E_{1})} +\mathrm {P(E_{2})} +\ldots$,

d’où

$\mathrm {P(E_{1}+E_{2}+\ldots )} \leqq \mathrm {P(E_{1})} +\mathrm {P(E_{2})} +\ldots$ ;

mais on peut choisir $e_{i}$ de façon que $\Psi (e_{i})$ surpasse ${\mathrm {P} (\mathrm {E} _{i})-{\frac {\varepsilon }{2^{i}}}}$ si ${\mathrm {P} (\mathrm {E} _{i})}$ est supérieure à 0 [si ${\mathrm {P} (\mathrm {E} _{i})=0}$, on laisse de côté cette valeur de $i$], et alors on a

$\Psi (e_{1}+e_{2}+\ldots )=\Psi (e_{1})+\Psi (e_{2})+\ldots >\mathrm {P(E_{1})} +\mathrm {P(E_{2})} +\ldots -\varepsilon$,

ou

$\mathrm {P(E_{1}+E_{2}+\ldots )} >\mathrm {P(E_{1})} +\mathrm {P(E_{2})} +\ldots -\varepsilon$.

L’additivité complète de $\mathrm {P}$ résulte de la comparaison de ces deux inégalités.

La fonction $\mathrm {P(E)}$ est dite la variation totale positive de $\Psi$ dans $\mathrm {E}$, $\mathrm {N(E)}$ est sa variation totale négative,

$\mathrm {V(E)=P(E)+N(E)}$

est sa variation totale. Cette variation totale est aussi une fonction complètement additive, car il clair que la somme ou la différence de deux fonctions complètement additives est complètement additive. $\mathrm {V(E)}$ est la borne supérieure de ${\textstyle \sum |\Psi (\mathrm {E} _{i})|}$ pour les divisions de $\mathrm {E}$ en ensembles partiels $\mathrm {E} _{i}$.

Nous prouverons que $\Psi (\mathrm {E} )$ est à variation bornée en montrant que l’on a

$\Psi (\mathrm {E} )=\mathrm {P(E)-N(E)}$.

Avec des points de $\mathrm {E}$ on peut former un ensemble $e_{1}$ pour lequel $\Psi (e_{1})$ surpasse ${{\frac {1}{2}}\mathrm {P(E)} }$. Avec des points de $e_{1}$ on peut former un ensemble $e_{2}$ pour lequel $\Psi (e_{2})$ soit au plus égal à ${-{\frac {1}{2}}\mathrm {N(E)} }$. On a

$\Psi (e_{1}-e_{2})\geqq \Psi (e_{1})$,$\mathrm {N} (e_{1}-e_{2})<{\frac {1}{2}}\mathrm {N} (e_{1})$.

Avec des points de ${e_{1}-e_{2}}$ formons un ensemble $e_{3}$ pour lequel $\Psi (e_{3})$ soit au plus égal à ${-{\frac {1}{2}}\mathrm {N} (e_{1}-e_{2})}$, on a

$\Psi (e_{1}-e_{2}-e_{3})\geqq \Psi (e_{1}-e_{2})$,$\mathrm {N} (e_{1}-e_{2}-e_{3})<{\frac {1}{2^{2}}}\mathrm {N} (e_{1})$.

En continuant ainsi, on arrive à un ensemble ${e_{1}-e_{2}-e_{3}-\ldots }$, ou $\mathrm {E} _{1}$, pour lequel on a

${\mathrm {N(E_{1})} =0}$,${\mathrm {P(E_{1})} =\Psi (\mathrm {E} _{1})\geqq {\frac {1}{2}}\mathrm {P(E)} }$,$\mathrm {P(E-E_{1})} \leqq {\frac {1}{2}}\mathrm {P(E)}$.

Avec des points de $\mathrm {E-E_{1}}$ on peut de même former un ensemble $\mathrm {E} _{2}$ tel que

${\mathrm {N(E_{2})} =0}$,${\mathrm {P(E_{2})} =\Psi (\mathrm {E} _{2})\geqq {\frac {1}{2}}\mathrm {P(E-E_{1})} }$,

$\mathrm {P(E-E_{1}-E_{2})} \leqq {\frac {1}{2^{2}}}\mathrm {P(E)}$.

Puis, avec des points de $\mathrm {E-E_{1}-E_{2}}$, on formera $\mathrm {E} _{3}$, tel que

${\mathrm {N(E_{3})} =0}$,${\mathrm {P(E_{3})} =\Psi (\mathrm {E} _{3})\geqq {\frac {1}{2}}\mathrm {P(E-E_{1}-E_{2})} }$,

$\mathrm {P(E-E_{1}-E_{2}-E_{3})} \leqq {\frac {1}{2^{3}}}\mathrm {P(E)}$,

et ainsi de suite.

Il est clair que, pour ${\mathrm {E} _{1}+\mathrm {E} _{2}+\ldots =\mathrm {E} ^{p}}$, on a

$\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{p})=\mathrm {N(E_{1})} +\mathrm {N(E_{2})} +\ldots =0$,

$\mathrm {P} (\mathrm {E} -\mathrm {E} ^{p})\leqq \mathrm {P} (\mathrm {E} -\mathrm {E} _{1}-\mathrm {E} _{2}-\ldots -\mathrm {E} _{k})\leqq {\frac {1}{2^{k}}}\mathrm {P(E)}$.

donc

$\mathrm {P} (\mathrm {E} -\mathrm {E} ^{p})=0$

et, puisque

$\mathrm {P(E)} =\mathrm {P} (\mathrm {E} -\mathrm {E} ^{p})+\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{p})$

on a

$\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{p})=\mathrm {P(E)}$ ;

de plus

$\Psi (\mathrm {E} ^{p})=\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{p})$.

D’une façon analogue, on formera $\mathrm {E} ^{n}$ tel que l’on ait

$\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{n})=0$,$\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{n})=\mathrm {N(E)}$ ;$\Psi (\mathrm {E} ^{n})=-\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{n})$.

Soit $e$ l’ensemble des points communs à $\mathrm {E} ^{p}$ et à $\mathrm {E} ^{n}$, des deux relations

$\mathrm {P} (e)\leqq \mathrm {P} (\mathrm {E} ^{n})$,$\mathrm {N} (e)\leqq \mathrm {N} (\mathrm {E} ^{p})$,

il résulte que les deux nombres non négatifs $\mathrm {P} (e)$ et $\mathrm {N} (e)$ sont nuls ; a fortiori $\Psi (e)$ est nulle. Si donc on retranche $e$ de $\mathrm {E} ^{n}$ on ne modifie ni $\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{n})$, ni $\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{n})$, ni $\Psi (\mathrm {E} ^{n})$.

Nous pouvons donc supposer que les deux ensembles $\mathrm {E} ^{p}$ et $\mathrm {E} ^{n}$ sont sans point commun. De même on verrait que $\mathrm {P}$, $\mathrm {N}$, et $\Psi$ sont nulles pour l’ensemble des points de $\mathrm {E}$ n’appartenant ni à $\mathrm {E} ^{p}$ ni à $\mathrm {E} ^{n}$, de sorte que cet ensemble peut être ajouté à $\mathrm {E} ^{p}$ ou à $\mathrm {E} ^{n}$ sans que nos relations soient changées. Finalement on voit que l’on peut supposer $\mathrm {E}$ divisé en deux ensembles $\mathrm {E} ^{p}$ et $\mathrm {E} ^{n}$ sans point commun et tels que l’on ait

${\begin{alignedat}{3}\Psi (\mathrm {E} ^{p})&{}={}&\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{p}),&\qquad \mathrm {N} (\mathrm {E} ^{p})&{}={}&0,\\\Psi (\mathrm {E} ^{n})&{}={}&-\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{p}),&\qquad \mathrm {P} (\mathrm {E} ^{n})&{}={}&0.\end{alignedat}}$

Mais

$\mathrm {E} =\mathrm {E} ^{p}+\mathrm {E} ^{n}$,

donc on a

$\Psi (\mathrm {E} )=\Psi (\mathrm {E} ^{p})+\Psi (\mathrm {E} ^{n})=\mathrm {P(E)-N(E)}$.

Il est prouvé que $\Psi (\mathrm {E} )$ est à variation bornée.

Si à $\mathrm {P(E)}$ et $\mathrm {N(E)}$ on ajoute une même fonction complètement additive et non négative $\lambda (\mathrm {E} )$ on obtient

$\mathrm {P_{1}(E)} =\lambda (\mathrm {E} )+\mathrm {P(E)}$,$\mathrm {N_{1}(E)} =\lambda (\mathrm {E} )+\mathrm {N(E)}$ ;

$\Psi (\mathrm {E} )=\mathrm {P_{1}(E)-N_{1}(E)}$.

On peut donc mettre une fonction à variation bornée sous la forme d’une différence de deux fonctions non négatives d’une infinité de manières ; le procédé que nous venons d’indiquer est d’ailleurs le plus général, c’est-à-dire que si l’on a

$\Psi (\mathrm {E} )=\mathrm {P_{1}(E)-N_{1}(E)}$,

$\mathrm {P_{1}(E)}$ et $\mathrm {N_{1}(E)}$ étant deux fonctions complètement additives et non négatives, on a

$\mathrm {P_{1}(E)} -\mathrm {P(E)} =\mathrm {N_{1}(E)} -\mathrm {N(E)} =\lambda (\mathrm {E} )$,

$\lambda (\mathrm {E} )$ étant complètement additive et non négative. En effet, soit $\lambda (\mathrm {E} )$ la fonction définie par cette double égalité ; elle est absolument continue, montrons qu’elle est non négative. Soit $\mathrm {E} ^{p}$ l’ensemble que nous avons attaché à $\mathrm {E}$ ; on a, puisque $\mathrm {E} ^{p}$ est contenu dans $\mathrm {E}$,

$\mathrm {P_{1}(E)} \geqslant \mathrm {P} _{1}(\mathrm {E} ^{p})=\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{p})+\lambda (\mathrm {E} ^{p})$,$\mathrm {N} _{1}(\mathrm {E} ^{p})=\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{p})+\lambda (\mathrm {E} ^{p})$,

Mais, puisque ${\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{p})}$ est nul et que ${\mathrm {N} _{1}(\mathrm {E} ^{p})}$ ne doit pas être négatif, ${\lambda (\mathrm {E} ^{p})\geqq 0}$ ; d’où

$\mathrm {P_{1}(E)} \geqslant \mathrm {P} (\mathrm {E} ^{p})=\mathrm {P(E)}$.

Donc

$\lambda (\mathrm {E} )=\mathrm {P_{1}(E)} -\mathrm {P(E)}$

n’est pas négatif.

En d’autres termes, les variations $\mathrm {P(E)}$ et $\mathrm {N(E)}$ de $\Psi (\mathrm {E} )$ sont, parmi toutes les fonctions complètement additives $\mathrm {P_{1}(E)}$ et $\mathrm {N_{1}(E)}$ qui ne sont pas négatives et vérifient l’identité

$\Psi (\mathrm {E} )=\mathrm {P_{1}(E)-N_{1}(E)}$,

celles qui sont les plus petites. Cette propriété correspond exactement à celle de la page 52 pour les fonctions à variation bornée d’une variable ; mais, de plus, nous avons vu incidemment que $\mathrm {P(E)}$ et $\mathrm {-N(E)}$ sont les deux limites, supérieure et inférieure, de $\Psi (e)$ pour $e$ variant dans $\mathrm {E}$ et que ces limites sont effectivement atteintes respectivement pour ${e=\mathrm {E} ^{p}}$ et pour ${e=\mathrm {E} ^{n}}$, propriétés qui n’ont pas leurs analogues pour les fonctions d’une variable^[6]. Pour que la propriété précédente soit entièrement prouvée, il faut toutefois montrer que $\Psi (\mathrm {E} )$ a nécessairement la valeur zéro dans certains ensembles, car si, par exemple, $\Psi (\mathrm {E} )$ était constamment positive, $\mathrm {-N(E)}$ serait constamment nulle et ne serait pas la limite inférieure de $\Psi (\mathrm {E} )$, $\mathrm {E} ^{n}$ n’existerait pas. Or ceci est impossible^[7], car les ensembles $\mathrm {E}$ réduits à un point qui donnent à $\Psi (\mathrm {E} )$ une valeur non nulle forment au plus une infinité dénombrable.

En effet, il ne saurait y avoir une infinité de points constituant chacun un ensemble $\mathrm {E}$ en lequel $\Psi (\mathrm {E} )$ surpasse le nombre positif $\mathrm {K}$ ; car pour l’ensemble formé par une infinité dénombrable de ces points $\Psi (\mathrm {E} )$ serait infinie. En faisant ensuite parcourir à $\mathrm {K}$ une suite de nombres positifs tendant vers zéro on voit que les points pour lesquels $\Psi (\mathrm {E} )$ a une valeur positive forment, un ensemble dénombrable. La même conclusion s’applique aux points pour lesquels $\Psi (\mathrm {E} )$ est négative.

Chaque point constituant à lui seul un ensemble en lequel $\Psi$ n’est pas nulle est dit un point de discontinuité de $\mathrm {E}$. Formons la fonction $\psi (\mathrm {E} )$ égale à la somme des valeurs prises par $\Psi$ en ceux de ses points de discontinuité qui appartiennent à $\mathrm {E}$. Il est clair que $\psi (\mathrm {E} )$ est complètement additive, qu’elle a pour variations positive et négative les fonctions $\pi (\mathrm {E} )$, $\nu (\mathrm {E} )$ formées de façon analogue avec $\mathrm {P(E)}$ et $\mathrm {N(E)}$ et qu’elle a pour variation totale la somme ${\pi (\mathrm {E} )+\nu (\mathrm {E} )}$ qui est la fonction qui se déduirait de la même manière de $\mathrm {V(E)=P(E)+N(E)}$. $\psi (\mathrm {E} )$ est dite la fonction des sauts de $\Psi (\mathrm {E} )$.

La fonction ${\Psi (\mathrm {E} )-\psi (\mathrm {E} )}$ n’a plus de points de discontinuité, non plus que ${\mathrm {P(E)} -\pi (\mathrm {E} )}$, ${\mathrm {N(E)} -\nu (\mathrm {E} )}$, ${\mathrm {V(E)} -\pi (\mathrm {E} )-\nu (\mathrm {E} )}$. Montrons que, pour de telles fonctions, tout point $x$ est point de continuité, c’est-à-dire peut être enfermé dans un intervalle $\mathrm {I}$ tel que les fonctions soient inférieures en module à $\varepsilon$ pour tout ensemble formé de points de $\mathrm {I}$^[8]. Il suffit de raisonner sur la plus grande, en module, des fonctions considérées, c’est-à-dire sur

${\mathrm {V_{0}(E)} =\mathrm {V(E)} -\pi (\mathrm {E} )-\nu (\mathrm {E} )}$.

Choisissons dans l’intervalle ${\delta =(a,b)}$ des valeurs $a_{i}$ croissantes vers $x_{0}$ et des valeurs $b_{i}$ décroissantes vers $x_{0}$ ; soient $\alpha _{i}$ et $\beta _{i}$ les ensembles définis respectivement par

$a_{i-1}\leqq x<a_{i}$,$b_{i}<x\leqq b_{i-1}$

On a

$\textstyle \delta =x_{0}+\sum \alpha _{i}+\sum \beta _{i}$,

les ensembles du second membre étant sans point commun deux à deux, et ${\mathrm {V} _{0}(x_{0})}$ étant nul, on a

$\textstyle \mathrm {V} _{0}(\delta )=\sum \mathrm {V} _{0}(\alpha _{i})+\sum \mathrm {V} _{0}(\beta _{i})$.

Les sommes du second membre étant convergentes, si l’on prend $k$ assez grand on aura, pour ${\delta _{k}=(\alpha _{k},\beta _{k})}$,

$\mathrm {V} _{0}(\delta _{k})=\sum _{k+1}^{\infty }\mathrm {V} _{0}(\alpha _{i})+\sum _{k+1}^{\infty }\mathrm {V} _{0}(\beta _{i})<\varepsilon$ ;

$\delta _{k}$ sera alors l’intervalle $\mathrm {I}$ que nous cherchons.

Ainsi une fonction complètement additive, définie dans un intervalle ${(a,b)}$, y est continue en tout point si, et seulement si, elle prend une valeur nulle pour tout ensemble formé d’un seul point^[9]. Une intégrale indéfinie est donc continue.

Examinons maintenant quelles sont les propriétés de $\Phi (\delta )$ et $\mathrm {F} (x)$ qui correspondent à celles de $\Psi (\mathrm {E} )$ que nous venons d’envisager.

Une fonction $\Psi (\mathrm {E} )$ étant donnée, une fonction d’intervalle est par cela même donnée ${\Phi (\delta )=\Psi (\delta )}$ ; cette fonction est définie pour tout intervalle positif ou nul, c’est-à-dire réduit à un point. Elle n’a pas en général la même valeur pour un intervalle ouvert

$\alpha <x<\beta$,

et pour l’intervalle fermé correspondant

$\alpha \leqq x\leqq \beta$ ;

ni pour les intervalles à demi fermés

$\alpha <x\leqq \beta$,$\alpha \leqq x<\beta$.

Il n’y a pourtant pas à faire cette distinction si $\Psi (\mathrm {E} )$ est continue en tout point, auquel cas $\Phi (\delta )$ est nulle pour tout intervalle nul.

À toute propriété d’additivité de $\Psi$ correspond une additivité de $\Phi$ qui s’énonce : si un intervalle $\delta$ est la somme des intervalles $\delta _{1}$, $\delta _{2}$, …, sans point commun deux à deux, on a

$\Phi (\delta )=\Phi (\delta _{1})+\Phi (\delta _{2})+\ldots$.

Si $\Psi$ a l’additivité restreinte, $\Phi$ a l’additivité restreinte, c’est-à-dire que les $\delta _{i}$ doivent être en nombre fini. Les $\delta _{i}$ peuvent être en infinité dénombrable si $\Psi$ a l’additivité complète, $\Phi$ est dite alors complètement additive.

Quant à la phrase sans point commun deux à deux, elle doit être prise au sens strict si $\Psi$ a des points de discontinuité ; les intervalles constituants peuvent être seulement sans point intérieur commun si $\Psi$ est continue ; pour le cas d’une intégrale indéfinie, par exemple.

$\Psi$ étant supposée complètement additive est à variation bornée ; $\Phi$ est alors à variation bornée, c’est-à-dire que pour des intervalles $\delta _{1}$, $\delta _{2}$, … sans point commun deux à deux (même remarque que plus haut), la somme ${\textstyle \sum |\Phi (\delta _{i})|}$ reste bornée ; sa borne supérieure si les $\delta _{i}$ sont pris dans $\delta$ est, en effet, au plus la valeur $\mathrm {V} (\delta )$ que prend la fonction $\mathrm {V(E)}$ pour ${\mathrm {E} =\delta }$. $\Phi (\delta )$ se présente comme la différence des deux fonctions non négatives d’intervalle $\mathrm {P} (\delta )$ et $\mathrm {N} (\delta )$, déduites de $\mathrm {P(E)}$ et $\mathrm {N(E)}$.

Les points de discontinuité et de continuité se définissent comme précédemment ; bref, les définitions antérieures s’appliquent. Seulement on ne considère plus que des ensembles réduits à un intervalle fermé ou ouvert, positif ou nul, et, par suite, une propriété qui fait appel à des ensembles qu’on ne saurait réduire à des intervalles n’a pas de transformée ; celle-ci par exemple : toute fonctions $\Psi (\mathrm {E} )$ à variation bornée atteint sa limite supérieure.

Passons maintenant d’une fonction d’intervalle complètement additive à une fonction de $x$. Nous désignerons par ${\Phi [a\leqq x\leqq b]}$ et par des notations analogues les valeurs que prend la fonction $\Phi$ pour les intervalles définis par les inégalités écrites entre crochets. On peut passer de $\Phi (\delta )$ à $\mathrm {F} (x)$ par l’une ou l’autre des formules

${\begin{aligned}\mathrm {F(X)} &=\Phi [a\leqq x\leqq \mathrm {X} ]+\mathrm {C} =\mathrm {C} +\Phi [a\leqq x\leqq b]-\Phi [\mathrm {X} <x\leqq b],\\\mathrm {F(X)} &=\Phi [a\leqq x<\mathrm {X} ]+\mathrm {C} =\mathrm {C} +\Phi [a\leqq x\leqq b]-\Phi [\mathrm {X} \leqq x\leqq b],\end{aligned}}$

dans lesquelles $\mathrm {C}$ désigne une constante. Ces deux formules sont équivalentes pour tous les points $\mathrm {X}$ qui sont points de continuité pour $\Phi$ ; pour les points de discontinuité elles donnent des valeurs différentes pour $\mathrm {F} (x)$. La définition de $\mathrm {F(X)}$ comporte donc un certain arbitraire. Nous allons adopter la première formule ; le second choix donnerait des résultats qui se déduiraient de suite de ceux que nous obtiendrons.

On a

$\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )=\Phi [a\leqq x\leqq \beta ]-\Phi [a\leqq x\leqq \alpha ]=\Phi [\alpha <x\leqq \beta ]$,

$\alpha$ étant supposé inférieur à $\beta$.

Si donc on prend arbitrairement $x_{1}$, $x_{2}$, … tels que

$a<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{p}<b$,

on aura

$|\mathrm {F} (x_{1})-\mathrm {F} (a)|+|\mathrm {F} (x_{2})-\mathrm {F} (x_{1})|+\ldots +|\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (x_{p})|$

$=|\Phi [a<x\leqq x_{1}]|+|\Phi [x_{1}<x\leqq x_{2}]|+\ldots +|\Phi [x_{p}<x\leqq b]|$.

Et comme le second membre est au plus égal à ${\mathrm {V} [a<x\leqq b]}$, la fonction $\mathrm {F} (x)$ est à variation bornée.

Dans la formule de définition de $\mathrm {F}$, faisons tendre $\mathrm {X}$ vers $\mathrm {X} _{0}$ en décroissant, c’est-à-dire donnons à $\mathrm {X}$ une suite de valeurs $\mathrm {X} '$, $\mathrm {X} ''$, … décroissant vers $\mathrm {X} _{0}$ ; on a

${\begin{aligned}\mathrm {F(X')} &=\mathrm {F(X_{0})+[F(X')-F(X'')]+[F(X'')-F(X''')]} +\ldots \\&=\mathrm {F(X_{0})} +\Phi [\mathrm {X''} <x\leqq \mathrm {X'} ]+\Phi [\mathrm {X'''} <x\leqq \mathrm {X''} ]+\ldots ,\\\mathrm {F(X'')} &=\mathrm {F(X_{0})+0+[F(X'')-F(X''')]} +\ldots \\&=\mathrm {F(X_{0})} +0+\Phi [\mathrm {X'''} <x\leqq \mathrm {X''} ]+\ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite, d’où

$\mathrm {F(X_{0}+0)=F(X_{0})}$ :

la fonction $\mathrm {F} (x)$ est donc continue à droite.

Faisant de même tendre $\mathrm {X}$ en croissant, on a

${\begin{aligned}\mathrm {F(X_{0}-0)} &=\lim _{\mathrm {X} \to \mathrm {X} _{0}}^{\mathrm {X} <\mathrm {X_{0}} }\left\lbrace \mathrm {C} +\Phi (a\leqq x\leqq \mathrm {X} )\right\rbrace =\Phi [a\leqq x<\mathrm {X} _{0}]+\mathrm {C} ,\\&=\mathrm {F(X_{0})} -\Phi (\mathrm {X} _{0}),\end{aligned}}$

la fonction $\mathrm {F} (x)$ est discontinue à gauche aux points où $\Phi$ est discontinue et en ces points seulement.

Nous retrouvons ainsi, en particulier, ce résultat : une intégrale indéfinie $\mathrm {F} (x)$ est une fonction continue à variation bornée.

Des égalités

$\Phi (\mathrm {X} _{0})=\mathrm {F(X_{0})-F(X_{0}-0)}$,

$\Phi \left[\mathrm {X} _{0}\leqq x\leqq \mathrm {Y} _{0}\right]=\mathrm {F(Y_{0})-F(X_{0}-0)}$,

qui résultent de ce qui précédé, il découle que la fonction $\Phi$ n’est définie par la fonction $\mathrm {F}$ que pour les intervalles, nuls ou non nuls, n’ayant pas pour origine $a$ lorsque $\mathrm {F}$ n’est connue que dans ${(a,b)}$. Pour que $\mathrm {F}$ puisse définir $\Phi$ dans tout ${a\leqq x\leqq b}$, convenons que la formule

$\mathrm {F(X)} =\Phi [a\leqq x\leqq \mathrm {X} ]+\mathrm {C}$

ne sera utilisée que pour ${a<\mathrm {X} \leqq b}$ et que l’on posera ${\mathrm {F} (a)=\mathrm {C} }$.

Alors $\mathrm {F(X)}$ pourra être discontinue à droite en $a$ et l’on aura des formules différentes pour relier $\Phi$ à $\mathrm {F}$ suivant qu’il s’agira ou non des intervalles d’origine $a$.

Nous arrivons ainsi à associer à la fonction d’intervalle $\Phi$ une fonction bien déterminée de points $\mathrm {F(X)}$ dont la connaissance entraînerait celle de $\Phi$.

Mais il est bien évident qu’un autre choix parmi les conventions possibles nous aurait conduit à une fonction $\mathrm {F(X)}$ continue à gauche, sauf peut-être en $b$, et avec laquelle on aurait eu

$\Phi (\mathrm {X} _{0})=\mathrm {F(X_{0}+0)-F(X_{0})}$,

$\Phi \left[\mathrm {X} _{0}\leqq x\leqq \mathrm {Y} _{0}\right]=\mathrm {F(Y_{0}+0)-F(X_{0})}$,

sauf pour ${\mathrm {Y} _{0}=b}$, auquel cas les formules seraient différentes.

Ce n’est donc que très artificiellement que nous avons attaché à $\Phi$ une fonction $\mathrm {F}$ déterminée ; si l’on remarque qu’avec les deux conventions précédentes on a

$\Phi (\mathrm {X} _{0})=\mathrm {F(X_{0}+0)-F(X_{0}-0)}$,

$\Phi \left[\mathrm {X} _{0}\leqq x\leqq \mathrm {Y} _{0}\right]=\mathrm {F(Y_{0}+0)-F(X_{0}-0)}$,

en posant ${\mathrm {F} (a-0)=\mathrm {F} (a)}$, ${\mathrm {F} (b+0)=\mathrm {F} (b)}$, on sera conduit à considérer qu’à $\Phi$ est attachée n’importe laquelle des fonctions $\mathrm {F(X)}$ à variation bornée vérifiant les relations précédentes. Deux fonctions $\mathrm {F(X)}$ satisfaisant à ces conditions ne différeront, à une constante additive près, qu’en certains de leurs points de discontinuité ; inversement, si $\mathrm {F(X)}$ répond à la question, toute fonction à variation bornée, égale à $\mathrm {F(X)}$ en tous les points où elles sont toutes deux continues à la fois, y répond aussi. Nous retrouverons souvent cette indétermination de $\mathrm {F(X)}$ à laquelle il faut tout de suite penser dès qu’on arrive à des conclusions qui semblent contradictoires.

Examinons le passage inverse d’une fonction à variation bornée $\mathrm {F(X)}$ à une fonction d’intervalles définie par les formules

$\Phi \left[\mathrm {X} _{0}\leqq x\leqq \mathrm {Y} _{0}\right]=\mathrm {F(Y_{0}+0)-F(X_{0}-0)}$,

$\Phi \left[\mathrm {X} _{0}\right]=\mathrm {F(X_{0}+0)-F(X_{0}-0)}$,

et celles qui en résultent pour les ensembles ouverts ou à demi ouverts quand on veut que $\Phi$ soit additive. Nous voulons prouver que la fonction $\Phi$ ainsi obtenue est complètement additive.

Considérons un intervalle ${\Delta =(l\leqq x\leqq m)}$ et divisons-le par un ensemble réductible de points en la famille des intervalles ouverts

$\delta _{i}=(l_{i}<x<m_{i})$

contigus à $\mathrm {E}$ et les points de $\mathrm {E}$, parmi lesquelles se trouvent $l$ et $m$, $x_{1}$, $x_{2}$, …. On aura ainsi la division la plus générale d’un intervalle en parties sans points communs, à ceci près qu’on pourrait réunir $\delta _{i}$ et une ou deux de ses extrémités pour constituer un intervalle demi-fermé ou fermé. La formule à démontrer est donc

$\Phi (\Delta )=\textstyle \sum \Phi (\delta _{i})+\sum \Phi (x_{i})$,

c’est-à-dire

${\begin{aligned}\mathrm {F} (&m+0)-\mathrm {F} (l-0)\\&=\textstyle \sum [\mathrm {F} (m_{i}-0)-\mathrm {F} (l_{i}+0)]+\sum [\mathrm {F} (x_{i}+0)-\mathrm {F} (x_{i}-0)]{\text{.}}\end{aligned}}$

Or cette formule résulte (p. 62) de ce que $\mathrm {F}$ est à variation bornée.

Si l’on prend convenablement l’ensemble $\mathrm {E}$, la somme

$\textstyle \sum |\Phi (\delta _{i})|+\sum |\Phi (x_{i})|$

donnera une valeur aussi approchée que l’on veut de la variation totale de $\Phi$ dans $\Delta$. Or cette somme s’écrit

$\textstyle \sum |\mathrm {F} (m_{i}-0)-\mathrm {F} (l_{i}+0)|+\sum |\mathrm {F} (x_{i}+0)-\mathrm {F} (x_{i}-0)|$,

quantité qui s’approche autant qu’on le veut de la variation totale de la fonction $\mathrm {F} _{1}(x)$, $\mathrm {F} _{1}(x)$ étant la fonction déduite de $\mathrm {F}$ en modifiant celle-ci en ses points de discontinuité, sauf $a$ et $b$ si ceux-ci sont des points de discontinuité, de façon à obtenir une fonction continue à droite, sauf peut-être en $a$.

Donc on a, entre la variation totale $\mathrm {V} (\delta )$ de $\Phi (\delta )$ et la variation totale $v(\mathrm {X} )$ de $\mathrm {F_{1}(X)}$, dans ${a\leqq x\leqq \mathrm {X} }$,

$\mathrm {V} \left[a\leqq x\leqq \mathrm {X} \right]=v(\mathrm {X} )$.

Entre les variations totales positive et négative de $\Phi (\delta )$, soient $\mathrm {P} (\delta )$ et $\mathrm {N} (\delta )$, et les variations totales positive et négative de $\mathrm {F_{1}(X)}$, soient $p(x)$ et $n(x)$, on a

${\begin{aligned}\Phi (\delta )&=\mathrm {P} (\delta )-\mathrm {N} (\delta ),&\mathrm {V} (\delta )&=\mathrm {P} (\delta )+\mathrm {N} (\delta ),\\\mathrm {F_{1}(X)} -\mathrm {F} (a)&=p(\mathrm {X} )-n(\mathrm {X} ),&v(\mathrm {X} )&=p(x)+n(x),\end{aligned}}$

d’où

$\mathrm {P} \left[a\leqq x\leqq \mathrm {X} \right]=p(\mathrm {X} )$,$\mathrm {N} \left[a\leqq x\leqq \mathrm {X} \right]=n(\mathrm {X} )$,

relations qui achèvent de fixer les relations entre $\mathrm {F(X)}$ et $\Phi (\delta )$.

On verrait facilement que les fonctions des sauts de $\Phi (\delta )$, $\mathrm {P} (\delta )$, $\mathrm {N} (\delta )$, $\mathrm {V} (\delta )$, fonctions qui se définissent comme celles de $\Psi (\mathrm {E} )$, $\mathrm {P(E)}$, $\mathrm {N(E)}$, $\mathrm {V(E)}$, sont les fonctions d’intervalles qui se déduisent des fonctions des sauts de $\mathrm {F(X)}$ ou $\mathrm {F_{1}(X)}$, de $p(x)$, de $n(x)$, de $v(x)$.

II. — Les fonctions absolument continues.

Ayant ainsi étudié le passage de $\mathrm {F} (x)$ à une fonction d’intervalle $\Phi (\delta )$, demandons-nous si nous pouvons déduire de $\Phi (\delta )$, complètement additive, une fonction d’ensemble $\Psi (\mathrm {E} )$ complètement additive.

Il est clair que $\Psi (\mathrm {E} )$ est définie pour tous les intervalles fermés ou ouverts ; de l’additivité absolue on déduit la valeur de $\Psi (\mathrm {E} )$ pour tous les ensembles mesurables B, puisque ces ensembles peuvent être obtenus par des sommes ou des différences à partir des intervalles^[10]. Mais pour atteindre tous les ensembles mesurables, il nous faudra nous appuyer sur la seconde propriété de l’intégrale indéfinie que nous avons nommée l’absolue continuité.

Une fonction $\Psi (\mathrm {E} )$ est dite absolument continue si, à tout $\varepsilon$ positif, on peut faire correspondre un nombre $\eta$, tel que la condition

$m(\mathrm {E} )\leqq \eta$entraîne$|\Psi (\mathrm {E} )|\leqq \varepsilon$.

En réalité cette propriété n’a été utilisée que pour des fonctions additives et c’est seulement pour de telles fonctions qu’elle mérite d’être considérée comme définissant un mode de continuité. Soient, en effet, $\Psi$ une fonction additive et $\mathrm {E} _{1}$ et $\mathrm {E} _{2}$ deux ensembles. Posons

$\mathrm {E} _{1}=\mathrm {E} +e_{1}$,$\mathrm {E} _{2}=\mathrm {E} +e_{2}$,

$\mathrm {E}$ étant la partie commune à $\mathrm {E} _{1}$ et $\mathrm {E} _{2}$ ; $\mathrm {E}$ et $e_{1}$ d’une part, $\mathrm {E}$ et $e_{2}$ d’autre part étant sans point commun.

Convenons de dire que les deux ensembles $\mathrm {E} _{1}$ et $\mathrm {E} _{2}$ sont distants de $\eta$^[11] si l’on a

$m(e_{1})\leqq \eta$,$m(e_{2})\leqq \eta$.

On a

${\begin{aligned}|\Psi (\mathrm {E} _{1})-\Psi (\mathrm {E} _{2})|&=|[\Psi (\mathrm {E} )+\Psi (e_{1})]-[\Psi (\mathrm {E} )+\Psi (e_{2})]|\\&=|\Psi (e_{1})-\Psi (e_{2})|\leqq |\Psi (e_{1})|+|\Psi (e_{2})|\leqq 2\varepsilon {\text{ ;}}\end{aligned}}$

ainsi, à deux ensembles $\mathrm {E} _{1}$ et $\mathrm {E} _{2}$, peu distants, correspondent des valeurs de la fonction peu différentes ; il s’agit bien d’une sorte de continuité, et même d’une continuité uniforme^[12].

Ce mode de continuité a tout d’abord été remarqué pour les intégrales indéfinies ; on a, en effet, la proposition que voici : L’intégrale d’une fonction sommable $f(x)$, étendue à un ensemble variable $\mathrm {E}$, tend vers zéro avec la mesure de $\mathrm {E}$. En effet, nous savons qu’on peut choisir $\mathrm {N}$ de façon que les intégrales ${\int _{a}^{b}\varphi \,\mathrm {d} x}$, ${\int _{a}^{b}\varphi _{\mathrm {N,N} }\,\mathrm {d} x}$ diffèrent de moins de ${\frac {\varepsilon }{2}}$, $\varphi$ étant valeur absolue de $f$ et $\varphi _{\mathrm {N,N} }$ étant la fonction qui se déduit de $\varphi$ comme il a été indiqué (p. 126). Soit alors $\mathrm {E}$ un ensemble de mesure au plus égale à ${\frac {\varepsilon }{2\mathrm {N} }}$ ; divisons $\mathrm {E}$ en l’ensemble $e_{1}$ de ceux de ses points où $\varphi _{\mathrm {N,N} }$ est nul et l’ensemble $e_{2}$ de ceux de ses points où $\varphi _{\mathrm {N,N} }$ est positif.

On a

${\begin{aligned}\left\vert \int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x\right\vert &=\left\vert \int _{e_{1}}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{e_{2}}f(x)\,\mathrm {d} x\right\vert \\&\leqq \int _{e_{1}}\varphi \,\mathrm {d} x+\left\vert \int _{e_{2}}f(x)\,\mathrm {d} x\right\vert \\&\leqq {\frac {\varepsilon }{2}}+\mathrm {N} \,m(e_{2})\leqq {\frac {\varepsilon }{2}}+\mathrm {N} {\frac {\varepsilon }{2\mathrm {N} }}=\varepsilon {\text{.}}\end{aligned}}$

Une intégrale indéfinie $\Psi (\mathrm {E} )$ est donc une fonction absolument continue.

D’une fonction complètement additive et absolument continue $\Psi (\mathrm {E} )$ nous déduirons une fonction d’intervalle $\Phi (\delta )$ complètement additive et absolument continue ; cette dernière dénomination exprimant que, quels que soient les intervalles, $\delta _{1}$, $\delta _{2}$, …, sans point commun deux à deux, la somme ${\textstyle \sum \Phi (\delta _{i})}$ tend vers zéro avec ${\textstyle \sum m(\delta _{i})}$. On pourrait dire aussi que la somme ${\textstyle \sum |\Phi (\delta _{i})|}$ tend vers zéro, car dans ${\textstyle \sum \Phi (\delta _{i})}$ nous pourrions ne conserver que les termes positifs, fournissant $\Sigma '$, ou que les termes négatifs, fournissant ${-\Sigma ''}$, et comme $\Sigma '$ et $\Sigma ''$ doivent tendre vers zéro, ${\textstyle \sum |\Phi (\delta _{i})|=\Sigma '+\Sigma ''}$ doit aussi tendre vers zéro. Par intervalles, sans point commun, on peut maintenant entendre intervalles sans point intérieur commun, car l’absolue continuité de $\Psi (\mathrm {E} )$ ou de $\Phi (\delta )$ entraîne évidemment que ces fonctions soient nulles pour tout intervalle réduit à un seul point, c’est-à-dire soient continues en tout point.

Si l’on passe ensuite d’une fonction $\Phi (\delta )$ ayant les deux propriétés considérées à une fonction $\mathrm {F(X)}$, $\mathrm {F(X)}$ est à variation bornée et absolument continue, c’est-à-dire que, pour tout système d’intervalles $(\alpha _{i},\beta _{i})$, sans point intérieur commun deux à deux, la somme ${\textstyle \sum [\mathrm {F} (\beta _{i})-\mathrm {F} (\alpha _{i})]}$ tend vers zéro avec la somme des mesures des $(\alpha _{i},\beta _{i})$. Ici encore, on peut à volonté mettre ou non un signe ${|\;\;|}$ sous le signe $\textstyle \sum$ ; remarquons aussi que l’absolue continuité de $\mathrm {F(X)}$ entraîne pour $\mathrm {F} (x)$ la continuité au sens ordinaire et que $\mathrm {F} (x)$ soit à variation bornée.

Si, réciproquement, on part d’une fonction $\mathrm {F(X)}$ à variation bornée et absolument continue, on en déduira une fonction $\Phi (\delta )$ ayant les deux propriétés indiquées. Cherchons maintenant une fonction d’ensemble $\Psi (\mathrm {E} )$ ayant aussi ces deux propriétés et se réduisant à $\Phi (\delta )$ sur les intervalles. Il est clair que s’il s’agit de calculer $\Psi (\mathrm {E} )$ pour un ensemble $\mathrm {E}$ nous pourrions procéder ainsi : on détermine un ensemble $\mathrm {A} _{i}$ d’intervalles distant de $\mathrm {E}$ de moins d’un nombre positif $\eta _{i}$ ; ce qui est facile, par exemple, en enfermant $\mathrm {E}$ dans des intervalles. Pour $\mathrm {A} _{i}$ on connaît $\Psi (\mathrm {A} _{i})$ comme égale à la somme des valeurs de $\Phi$ pour les divers intervalles constituant $\mathrm {A} _{i}$. Puis on fait tendre $\eta _{i}$ vers zéro et $\Phi (\mathrm {A} _{i})$ tend vers la valeur cherchée $\Psi (\mathrm {E} )$.

Cette valeur $\Psi (\mathrm {E} )$ existera donc si, quand on remplace $\mathrm {A} _{i}$ par un autre ensemble d’intervalles, $\mathrm {B} _{i}$, distant aussi de $\mathrm {E}$ de moins de $\eta _{i}$, ${|\Psi (\mathrm {A} _{i})-\Psi (\mathrm {B} _{i})|}$ tend vers zéro avec $\eta _{i}$. Or, il en est bien ainsi, puisque $\mathrm {A} _{i}$ et $\mathrm {B} _{i}$ sont évidemment distants de $2\eta _{i}$ au plus^[13]. Finalement $\Psi (\mathrm {E} )$ se calcule à l’aide de sommes d’accroissements ${\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )}$, pour cette raison nous dirons aussi que $\Psi (\mathrm {E} )$ est l’accroissement de $\mathrm {F(X)}$ dans l’ensemble $\mathrm {E}$.

Ainsi les trois familles de fonctions : fonction d’ensemble absolument continue et complètement additive, fonction d’intervalles ayant les deux mêmes propriétés, fonction d’une variable absolument continue et à variation bornée, se correspondent entièrement.

En particulier, nous voyons que l’intégrale indéfinie, fonction d’une variable, d’une fonction $f(x)$ détermine entièrement l’intégrale indéfinie, fonction d’ensemble de $f(x)$. Et nous avons appris à calculer $\int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x$, à partir des intégrales de $f(x)$ dans les divers intervalles, par un procédé analogue à celui qui permet de calculer $m(\mathrm {E} )$ à partir de la mesure des intervalles.

La propriété précédente entraîne cette conséquence très importante : deux fonctions $f_{1}(x)$ et $f_{2}(x)$, qui ont même intégrale dans tout intervalle, sont égales, sauf tout au plus aux points d’un ensemble de mesure nulle. En effet, deux telles fonctions ont, par hypothèse, même intégrale indéfinie $\mathrm {F(X)}$, donc même intégrale indéfinie $\Psi (\mathrm {E} )$ ; or, comme ${\mathrm {E} [(f_{1}-f_{2})\neq 0]}$ est la limite, pour ${\varepsilon >0}$ et tendant vers zéro, de ${\mathrm {E} [(f_{1}-f_{2})>\varepsilon ]+\mathrm {E} [(f_{2}-f_{1})>\varepsilon ]}$, pour $\varepsilon$ assez petit l’un des deux ensembles qui viennent d’être nommés serait de mesure non nulle si $f_{1}$ et $f_{2}$ différaient en un ensemble de points de mesure positive^[14]. Et il est clair que, dans cet ensemble $e$ de mesure non nulle, l’intégrale de la fonction ${f_{1}-f_{2}}$, constamment supérieure à $\varepsilon$, ou constamment inférieure à $-\varepsilon$, ne serait pas nulle. En d’autres termes, ${\int _{e}f_{1}\,\mathrm {d} x}$ et ${\int _{e}f_{2}\,\mathrm {d} x}$ différeraient, ce qui est contraire à l’hypothèse.

Ainsi une fonction $f(x)$ est déterminée, sauf aux points d’un ensemble de mesure nulle, par la connaissance de l’une quelconque de ses intégrales indéfinies.

L’indétermination qu’on rencontre dans cet énoncé est bien effective ; car, si l’on modifie arbitrairement $f(x)$ aux points d’un ensemble de mesure nulle arbitrairement choisi, on ne modifie pas ses intégrales indéfinies. Nous aurons plus loin à rechercher comment on peut calculer $f(x)$ quand on en connaît une intégrale indéfinie ; mais pour donner aux résultats qu’on obtiendra toute la portée possible, il sera commode de poursuivre quelque peu l’étude des fonctions d’ensemble.

III. — Les singularités des fonctions non absolument continues.

Des deux propriétés indiquées pour l’intégrale indéfinie fonction d’une variable : être à variation bornée et être absolument continue, la première est contenue dans la seconde ; en effet, pour une fonction $\mathrm {F(X)}$ à variation non bornée, il est possible de choisir (p. 57) un système dénombrable d’intervalles non empiétants et tels que la série ${\textstyle \sum \left[\mathrm {F} (\beta _{i})-\mathrm {F} (\alpha _{i})\right]}$ correspondante soit divergente ; or une telle série, d’après la définition même de l’absolue continuité (p. 158), est toujours convergente pour une fonction absolument continue.

Au contraire, il existe des fonctions continues et à variation bornée qui ne sont pas absolument continues ; la fonction $\xi (x)$ de la page 56 en est un exemple. En effet, $\xi (x)$ a une variation totale égale à 1 dans tout système d’intervalles enfermant $\mathrm {Z}$ et cela bien que $\mathrm {Z}$ soit de mesure nulle.

Lorsque l’on considère une fonction $\mathrm {F(X)}$ à variation bornée, pour estimer dans quelle mesure elle s’écarte de l’absolue continuité, il suffit de prendre des ensembles d’intervalles de mesures au plus égales à $\eta$ et de former pour eux les sommes ${+\Sigma '}$ et ${-\Sigma ''}$ des différences $\mathrm {F} (\beta _{i})-\mathrm {F} (\alpha _{i})$ positives et des différences négatives. En choisissant les ${(\alpha _{i},\beta _{i})}$ de toutes les manières, $\Sigma '$ et $\Sigma ''$ ont deux limites supérieures ${\mathrm {M'} (\eta )}$, ${\mathrm {M''} (\eta )}$ qui, quand on fait tendre $\eta$ vers zéro en décroissant, tendent en décroissant vers deux limites $p_{0}$ et $n_{0}$. Il est clair qu’on peut dire que $\mathrm {F(X)}$ s’écarte de l’absolue continuité : dans le sens des variations positives de $p_{0}$, dans le sens des variations négatives de $n_{0}$, au point de vue de la variation totale de ${p_{0}+n_{0}}$.

Ces nombres $n_{0}$ et $p_{0}$ auraient pu être définis en appliquant le procédé précédent non plus à $\mathrm {F(X)}$ mais respectivement à sa variation positive $\mathrm {P(X)}$ et à sa variation négative $\mathrm {N(X)}$ ; c’est-à-dire qu’on aurait remplacé ${+\Sigma '}$, par exemple, par la somme des variations positives de $\mathrm {F(X)}$ dans tous les intervalles ${(\alpha _{i},\beta _{i})}$. En effet, en opérant ainsi nous avons ${\textstyle \sum \left[\mathrm {P} (\beta _{i})-\mathrm {P} (\alpha _{i})\right]}$ ; mais, dans ${(\alpha _{i},\beta _{i})}$, on peut trouver des intervalles non empiétants ${(\alpha _{ij},\beta _{ij})}$ tels que toutes les différences ${\mathrm {F} (\beta _{ij})-\mathrm {F} (\alpha _{ij})}$ soient positives et que leur somme, pour $j$ seul variable, diffère aussi peu que l’on veut de $\mathrm {P} (\beta _{i})-\mathrm {P} (\alpha _{i})$ ; on a donc, en choisissant bien les ${(\alpha _{i,j},\beta _{i,j})}$,

$\textstyle \sum \left[\mathrm {P} (\beta _{i})-\mathrm {P} (\alpha _{i})\right]-\varepsilon <\sum \left[\mathrm {F} (\beta _{i,j})-\mathrm {F} (\alpha _{i,j})\right]\leqq \sum \left[\mathrm {P} (\beta _{i})-\mathrm {P} (\alpha _{i})\right]$

et, comme la mesure de l’ensemble des ${(\alpha _{i,j},\beta _{i,j})}$ est au plus celle des ${(\alpha _{i},\beta _{i})}$, les deux procédés de définition de $p_{0}$ sont bien équivalents. Ajoutons qu’on peut évidemment exiger que chaque système d’intervalles employé n’en contienne qu’un nombre fini. À chaque mode de définition de $p_{0}$, de $n_{0}$, donc de ${v_{0}=p_{0}+n_{0}}$, correspond évidemment une formulation différente de la condition d’absolue continuité.

Désignons par $\mathrm {P} _{s}(\mathrm {X} )$, $\mathrm {N} _{s}(\mathrm {X} )$, $\mathrm {V} _{s}(\mathrm {X} )$ les nombres $p_{0}$, $n_{0}$, $v_{0}$ relatifs à l’intervalle ${(a,\mathrm {X} )}$, il est évident que dans l’intervalle positif ${(\alpha ,\mathrm {X} )}$ les nombres $p_{0}$, $n_{0}$, $v_{0}$ sont ${\mathrm {P} _{s}(\mathrm {X} )-\mathrm {P} _{s}(\alpha )}$, ${\mathrm {N} _{s}(\mathrm {X} )-\mathrm {N} _{s}(\alpha )}$, ${\mathrm {V} _{s}(\mathrm {X} )-\mathrm {V} _{s}(\alpha )}$ ; il est clair aussi que ces trois nombres sont positifs ou nuls et au plus égaux, respectivement à ${\mathrm {P} (\mathrm {X} )-\mathrm {P} (\alpha )}$, ${\mathrm {N} (\mathrm {X} )-\mathrm {N} (\alpha )}$, ${\mathrm {V} (\mathrm {X} )-\mathrm {V} (\alpha )}$. En d’autres termes, les six fonctions $\mathrm {P} _{s}(\mathrm {X} )$, $\mathrm {N} _{s}(\mathrm {X} )$, $\mathrm {V} _{s}(\mathrm {X} )$ ; ${\mathrm {P(X)} -\mathrm {P} _{s}(\mathrm {X} )}$, ${\mathrm {N(X)} -\mathrm {N} _{s}(\mathrm {X} )}$, ${\mathrm {V(X)} -\mathrm {V} _{s}(\mathrm {X} )}$ sont non négatives et non décroissantes. Ces fonctions ne sont actuellement définies que dans ${a<\mathrm {X} \leqq b}$ ; nous les prendrons égales à zéro au point $a$ et nous poserons

$\mathrm {F} _{s}(\mathrm {X} )=\mathrm {P} _{s}(\mathrm {X} )-\mathrm {N} _{s}(\mathrm {X} )$.

Les fonctions $\mathrm {F} _{s}$, $\mathrm {P} _{s}$, $\mathrm {N} _{s}$, $\mathrm {V} _{s}$ sont dites les fonctions des singularités de $\mathrm {F}$, $\mathrm {P}$, $\mathrm {N}$, $\mathrm {V}$ ; voici leur propriété caractéristique : si $\mathrm {F} _{s}(\mathrm {X} )$ est la fonction des singularités d’une fonction à variation bornée $\mathrm {F(X)}$, la différence ${\mathrm {F(X)} -\mathrm {F} _{s}(\mathrm {X} )}$ est absolument continue et $\mathrm {F} _{s}(\mathrm {X} )$ est, de toutes les fonctions $\mathrm {G} _{s}(\mathrm {X} )$ telles que la différence ${\mathrm {F(X)} -\mathrm {G} _{s}(\mathrm {X} )}$ soit absolument continue, celle qui a la plus petite variation totale, et qui s’annule pour ${x=a}$.

Il est évident, d’après la définition même de $\mathrm {P} _{s}$ et de $\mathrm {N} _{s}$ qu’il ne saurait y avoir une fonction corrective $\mathrm {G} _{s}(\mathrm {X} )$ ayant des variations dans ${(a,\mathrm {X} )}$ inférieures à $\mathrm {P} _{s}(\mathrm {X} )$, $\mathrm {N} _{s}(\mathrm {X} )$, $\mathrm {V} _{s}(\mathrm {X} )$ et que la seule fonction pour laquelle ces valeurs minima soient atteintes est

$\mathrm {F} _{s}(\mathrm {X} )+{\text{const.}}$

Mais il reste à prouver que $\mathrm {F} _{s}(x)$ est une fonction corrective. Or on a

$\mathrm {F(X)} -\mathrm {F} _{s}(\mathrm {X} )=[\mathrm {P(X)} -\mathrm {P} _{s}(\mathrm {X} )]-[\mathrm {N(X)} -\mathrm {N} _{s}(\mathrm {X} )]$ ;

comme les deux crochets du second membre sont positifs ou nuls, il faut donc prouver que le nombre $p_{0}$ relatif au premier crochet et le nombre $n_{0}$ relatif au second sont nuls.

Si le nombre $p_{0}$ relatif à ${\mathrm {P(X)} -\mathrm {P} _{s}(\mathrm {X} )}$ était égal à ${\lambda >0}$, c’est qu’on pourrait trouver dans ${(a,b)}$ des points en nombre fini,

$x_{0}=a<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{k}=b$,

tels que la mesure de l’ensemble des intervalles de rang pair ${(x_{2i-1},x_{2i})}$ soit inférieure à $\eta$ et tels cependant que la somme

$\textstyle \sum \left\lbrace [\mathrm {P} (x_{2i})-\mathrm {P} _{s}(x_{2i})]-[\mathrm {P} (x_{2i-1})-\mathrm {P} _{s}(x_{2i-1})]\right\rbrace$

surpasse $\lambda$. Ce qui s’écrit encore

$\textstyle \sum [\mathrm {P} (x_{2i})-\mathrm {P} (x_{2i-1})]\geqq \sum [\mathrm {P} _{s}(x_{2i})-\mathrm {P} _{s}(x_{2i-1})]+\lambda$.

D’autre part, on peut trouver dans chaque intervalle de rang impair ${(x_{2i},x_{2i+1})}$ des intervalles ${(\alpha ,\beta )}$ dont la mesure totale soit aussi faible qu’on le veut et qui fournissent une somme

$\textstyle \sum [\mathrm {P} (\beta )-\mathrm {P} (\alpha )]$

au moins égale à ${\mathrm {P} _{s}(x_{2i+1})-\mathrm {P} _{s}(x_{2i})}$, d’après la définition même de $\mathrm {P} _{s}$. De sorte que l’on peut supposer que l’ensemble des ${(\alpha ,\beta )}$ relatifs à toutes les valeurs de $i$ ait une mesure inférieure à $\eta$ et que cependant on ait

$\textstyle \sum [\mathrm {P} (\beta )-\mathrm {P} (\alpha )]\geqq \sum [\mathrm {P} _{s}(x_{2i+1})-\mathrm {P} _{s}(x_{2i})]$.

D’où, par addition,

${\begin{aligned}\textstyle \sum [\mathrm {P} (x_{2i})-\mathrm {P} (x_{2i-1})]+\sum [\mathrm {P} (\beta )-\mathrm {P} (\alpha )]&\geqq \lambda +\textstyle \sum [\mathrm {P} _{s}(x_{j})-\mathrm {P} _{s}(x_{j-1})]\\&=\lambda +\mathrm {P} _{s}(b){\text{ ;}}\end{aligned}}$

et ceci est impossible, d’après la définition de $\mathrm {P} _{s}$, puisque l’ensemble des ${(x_{2i-1},x_{2i})}$ et des ${(\alpha ,\beta )}$ est de mesure $2\eta$ aussi petite que l’on veut.

La proposition est donc démontrée.

Posons ${\mathrm {F} =\mathrm {F} _{s}+\mathrm {AC} }$, $\mathrm {AC}$ représente donc une fonction absolument continue : le noyau de $\mathrm {F}$. Les fonctions $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{s}$ ont les mêmes sauts en tout point, donc la même fonction des sauts $\mathrm {S}$ (fonction $\varphi$ de la page 60). Si l’on pose

$\mathrm {F} =\mathrm {S} +\mathrm {C} =\mathrm {F} _{s}+\mathrm {AC} =\mathrm {S} +\mathrm {C} _{s}+\mathrm {AC}$,

$\mathrm {C}$ est la partie continue de $\mathrm {F}$ (fonction $\psi$ de la page 61) et $\mathrm {C} _{s}$ est à la fois la partie continue de $\mathrm {F} _{s}$ et la fonction des singularités de la partie continue $\mathrm {C}$ de $\mathrm {F}$^[15].

Considérons une suite $\mathrm {I} _{1}$, $\mathrm {I} _{2}$, … d’ensembles d’intervalles dont les mesures tendent vers zéro et fournissant des sommes ${\textstyle \sum _{1}\Delta \mathrm {V} }$, ${\textstyle \sum _{2}\Delta \mathrm {V} }$, … tendant vers la plus grande limite possible ${v_{0}=\mathrm {V} _{s}(b)}$. Les sommes analogues relatives à $\mathrm {AC}$ tendent vers zéro, à cause de l’absolue continuité de $\mathrm {AC}$, donc les sommes ${\textstyle \sum _{1}\Delta \mathrm {V} _{s}}$, ${\textstyle \sum _{2}\Delta \mathrm {V} _{s}}$, … tendent aussi vers $v_{0}$.

En supprimant au besoin certains des $\mathrm {I}$ primitifs nous pouvons supposer que la série des mesures des $\mathrm {I} _{s}$ est convergente ; alors si nous désignons par $\mathrm {I} ^{p}$ l’ensemble d’intervalles ${\sum _{p}^{\infty }\mathrm {I} _{k}}$, les $\mathrm {I} ^{p}$ forment une suite possédant toutes les propriétés signalées de la suite des $\mathrm {I} _{p}$ et, de plus, $\mathrm {I} ^{p}$ contient $\mathrm {I} ^{p+1}$. Soit $\mathrm {E} _{s}$ l’ensemble des points communs à tous les $\mathrm {I} ^{p}$ ; il est de mesure nulle et pour tout système d’intervalles ouverts^[16] enfermant $\mathrm {E} _{s}$ la somme ${\textstyle \sum \Delta \mathrm {V} _{s}=v_{0}}$.

En effet, soit $\mathrm {J}$ un tel système d’intervalles, pour $p$ assez grand $\mathrm {I} ^{p}$ est contenu dans $\mathrm {J}$ sans quoi, comme l’ensemble $\mathrm {K} ^{p}$ obtenu en retirant de $\mathrm {I} ^{p}$ les parties contenues dans $\mathrm {J}$ contient $\mathrm {K} ^{p+1}$, il existerait des points communs à tous les $\mathrm {K} ^{p}$, donc à tous les $\mathrm {I} ^{p}$, et ne faisant pas partie de $\mathrm {J}$, ce qui est impossible. Donc il fournit une somme ${\textstyle \sum \Delta \mathrm {V} _{s}}$ au moins égale à celle que fournit $\mathrm {I} ^{p}$ pour $p$ très grand, donc au moins égale à $v_{0}$, donc exactement égale à $v_{0}$ puisque aucune somme ${\textstyle \sum \Delta \mathrm {V} _{s}}$, ne saurait surpasser ${v_{0}=\mathrm {V} _{s}(b)}$.

Lorsqu’un ensemble est de mesure nulle et que tout système d’intervalles ouverts l’enfermant donne une somme ${\textstyle \sum \Delta \mathrm {V} _{s}}$, égale à $v_{0}$, c’est-à-dire donne une somme ${\textstyle \sum \Delta \mathrm {V} }$ au moins égale à $v_{0}$, cet ensemble est dit l’ensemble des singularités de $\mathrm {F}$ parce que, en un certain sens, toute la variation de $\mathrm {F} _{s}$ est concentrée aux points de cet ensemble.

L’ensemble $\mathrm {E} _{s}$ que nous venons de construire est donc l’ensemble des singularités de $\mathrm {F}$, ou si l’on veut un ensemble des singularités car il est clair que l’ensemble des singularités est très indéterminé. Par exemple, en ajoutant à $\mathrm {E} _{s}$ un ensemble quelconque de mesure nulle on a encore un ensemble des singularités.

Tout ensemble des singularités contient nécessairement les points de discontinuité de $\mathrm {F}$ ; mais ce sont les seuls points qu’il contient nécessairement. Soit, en effet, $x_{0}$ un point de continuité de $\mathrm {F}$ et supposons qu’il appartienne à ${\mathrm{E}}_{}$