Or, il est clair que l’on a
ce qui prouve que est de classe un au plus.
Grâce à ce lemme, pour démontrer qu’une fonction ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait est de classe un au plus, il suffit de montrer que, quel que soit , on peut construire une fonction de classe un au plus ne différant pas de de plus de . Cette construction est basée sur les propriétés de la fonction considérée sur un ensemble fermé .
Quand, au Chapitre II, nous avons défini le maximum, le minimum, l’oscillation d’une fonction en un point, nous avons fait remarquer que ces définitions, et par suite celles de la continuité et de la discontinuité, ne supposaient pas que soit définie dans tout un intervalle. Si l’on applique ces définitions à un ensemble fermé, elles conduisent à dire que est, sur l’ensemble fermé , continue en chaque point isolé de ou, ce qui est équivalent, que l’oscillation de sur est nulle en tout point isolé de .
De là il résulte qu’une fonction ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait est aussi ponctuellement discontinue sur tout ensemble fermé car, ou bien cet ensemble fermé est parfait, ou il contient des points isolés en lesquels doit être regardée comme continue.
Le raisonnement de la page 21 conduit, pour le cas des fonctions définies sur un ensemble fermé, à l’énoncé suivant : si, en tous les points d’un ensemble fermé , l’oscillation d’une fonction sur est au plus égale à , l’oscillation de , est inférieure à , sur la partie de contenue dans un intervalle de longueur , dès que est assez petit ; étant un nombre positif quelconque.
Ces remarques faites, étant donnée dans un intervalle une fonction ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait, nous obtiendrons une fonction différant de de au plus par la répétition de l’opération suivante : supposons que soit déjà construite sauf aux points d’un ensemble fermé , nous considérerons l’ensemble des points de en lesquels l’oscillation de sur est au moins égale à . est un
