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LA TOTALISATION.

cette opération $\mathrm {O} _{1}$ nous fournit $\varphi$ sauf aux points d’un ensemble fermé $\Phi$ que nous désignons par $e_{1}$. Prenons cet ensemble $e_{1}$ pour ensemble $\mathrm {F}$, la nouvelle opération, l’opération $\mathrm {O} _{2}$ nous donnera $\varphi$ sauf aux points d’un ensemble $\Phi$ que nous désignerons par $e_{2}$. Puis nous prendrons $e_{2}$ pour $\mathrm {F}$, d’où une opération $\mathrm {O} _{3}$, etc. S’il arrive que $e_{n}$ n’existe pas, $\varphi$ sera entièrement déterminé par l’opération $\mathrm {O} _{n}$ ; ceci peut se produire pour une valeur quelconque de $n$, par exemple pour ${n=1}$. Mais il se peut aussi que l’on épuise la suite des indices $n$ entiers finis sans déterminer ${\varphi (x)}$ dans tout ${(a,b)}$. Tous les ensembles $e_{1}$, $e_{2}$, … existent, ils sont fermés, chacun d’eux contient le suivant, il y a donc des points communs à tous ces ensembles et ces points constituent un ensemble fermé que nous noterons $e_{\omega }$.

L’opération $\mathrm {O} _{\omega }$, de nature différente des précédentes, se réduira tout simplement à la construction de $e_{\omega }$ et à la constatation, qu’après les opérations précédant $\mathrm {O} _{\omega }$, la fonction $\varphi$ est connue sauf aux points de $e_{\omega }$.

L’opération $\mathrm {O} _{\omega +1}$ sera celle dans laquelle on prendra $e_{\omega }$ comme ensemble $\mathrm {F}$ et, d’une façon générale l’opération $\mathrm {O} _{\alpha +1}$, suivant immédiatement l’opération $\mathrm {O} _{\alpha }$ qui aura fourni $\varphi (x)$ sauf aux points de $e_{\alpha }$, sera celle dans laquelle on prendra $e_{\alpha }$ comme ensemble $\mathrm {F}$.

Chaque fois que l’on aura épuisé les indices finis et transfinis inférieurs à un nombre transfini de seconde espèce $\alpha$, sans arriver à définir $\varphi$ dans tout ${(a,b)}$, c’est que les ensembles $e_{\beta }$ existeront tous pour ${\beta <\alpha }$. Il y a alors des points communs à tous les $e_{\beta }$ et qui constituent un ensemble fermé $e_{\alpha }$. L’opération $\mathrm {O} _{\alpha }$ se réduit alors à la construction de $e_{\alpha }$ et à la constatation, qu’après les opérations ${\mathrm {O} _{\beta }(\beta <\alpha )}$, on connaît ${\varphi (x)}$ sauf aux points de $e_{\alpha }$.

La famille des opérations $\mathrm {O}$ est ainsi définie, elle fournit une suite bien ordonnée d’ensembles fermés $e_{1}$, $e_{2}$, … tels que chacun contient tous les suivants et que chacun d’eux est partout non dense sur ceux qui le précèdent puisque $f$ est ponctuellement discontinue sur tout ensemble fermé $\mathrm {F}$. Deux ensembles $e_{i}$, $e_{j}$ d’indices différents ne peuvent donc pas être identiques, aussi (voir la note de la fin du Volume) la suite des $e_{i}$ est au plus dénombrable. En d’autres termes, après un nombre fini ou une infinité dénombrable d’opérations, nous arrivons à une opéra-