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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

(Quelques fluctuations dans les notations avec la page suivante, voir la page de discussion)

Il suffit de choisir $t$ de manière que ${\alpha [x(t)]}$ soit absolument continue en $t$ pour pouvoir appliquer la formule précédente. Cette variable $t$ pourrait être la longueur de la courbe ${\alpha =\alpha (x)}$, depuis $a$ jusqu’à $x$ ; il est plus simple ici de prendre^[1]

$t=x+\mathrm {V} (x)$,

${\mathrm {V} (x)}$ étant, comme précédemment, la variation totale de ${\alpha (x)}$ de $a$ à $x$. Alors on a, en posant ${\alpha [x(t)]=\mathrm {A} (t)}$,

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=\int _{a}^{b+\mathrm {V} }f[x(t)].{'\!\mathrm {A} (t)}\,\mathrm {d} t$.

Si ${\alpha (x)}$ était continue et variable dans tout intervalle on pourrait poser ${v=\mathrm {V} (x)}$ et l’on aurait

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=\int _{0}^{\mathrm {V} }f[x(v)].{'\!\alpha [x(v)]}\,\mathrm {d} v$.

Nous allons étendre cette formule à tous les cas : posons pour cela les définitions suivantes :

${\mathrm {V} (x)}$ désignant la variation totale, de $a$ à $x$, de la fonction déterminante ${\alpha (x)}$, à toute valeur $v_{0}$ comprise entre 0 et ${\mathrm {V} =\mathrm {V} (b)}$, il correspond :

a. Soit une ou plusieurs valeurs de $x$ telles que l’on ait ${v_{0}=\mathrm {V} (x)}$, nous choisissons alors l’une de ces valeurs $x_{0}$ et nous posons

$x_{0}=x(v_{0})$,$\mathrm {A} (v_{0})=\alpha [x(v_{0})]=\alpha (x_{0})$,

b. Soit une valeur $x_{0}$, telle que l’on ait

$\mathrm {V} (x_{0}-0)\leqq v_{0}<\mathrm {V} (x_{0})$ou$\mathrm {V} (x_{0})<v_{0}\leqq \mathrm {V} (x_{0}+0)$ ;

nous posons alors ${x_{0}=x(v_{0})}$ et, dans le premier cas

$\mathrm {A} (v_{0})=\alpha (x_{0}-0)+{\frac {\alpha (x_{0})-\alpha (x_{0}-0)}{\mathrm {V} (x_{0})-\mathrm {V} (x_{0}-0)}}\left[v_{0}-\mathrm {V} (x_{0}-0)\right]$,

dans le second

$\mathrm {A} (v_{0})=\alpha (x_{0})+{\frac {\alpha (x_{0}+0)-\alpha (x_{0})}{\mathrm {V} (x_{0}+0)-\mathrm {V} (x_{0})}}\left[v_{0}-\mathrm {V} (x_{0})\right]$,

1. Voir pages 167 et suivantes.