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CHAPITRE XI.

l’intégrale de Stieltjès-Riemann de $f(x)$ prise par rapport à ${\alpha (x)}$, est que $f(x)$ ait une oscillation moyenne, prise par rapport à ${\alpha (x)}$, nulle dans l’intervalle considéré.

Du fait que la convergence de ${\displaystyle \sum _{0}^{n}\omega _{i}\,\delta _{i}v}$ vers zéro est la condition d’intégrabilité, on déduit de suite, comme au Chapitre II, que la condition nécessaire et suffisante pour que $f(x)$ soit intégrable, au sens de Stieltjès-Riemann, par rapport à ${\alpha (x)}$, est que l’ensemble des points en lesquels $f(x)$ a une discontinuité au moins égale à $\varepsilon$, soit, quel que soit ${\varepsilon >0}$, un groupe intégrable par rapport à ${\alpha (x)}$. En entendant par groupe intégrable par rapport à ${\alpha (x)}$, tout ensemble de points qui peut être enfermé à l’intérieur^[1] d’intervalles en nombre fini fournissant une somme d’accroissements ${\textstyle \sum \delta v}$ de la variation totale aussi petite que l’on veut.

Le mot intérieur est indispensable si ${\alpha (x)}$ est discontinue ; alors un ensemble réduit à un seul point $\mathrm {P}$ n’est pas toujours un groupe intégrable. En effet, si $\mathrm {P}$ est point de discontinuité de ${\alpha (x)}$, il n’existe pas d’intervalle contenant $\mathrm {P}$ à son intérieur et pour lequel ${\delta v}$ soit inférieur à ${v(\mathrm {P} +0)-v(\mathrm {P} -0)}$. Ainsi les groupes intégrables par rapport à ${\alpha (x)}$ sont formés de points de continuité de ${\alpha (x)}$ ; une fonction $f(x)$ ne peut être intégrable, au sens de Stieltjès-Riemann, par rapport à ${\alpha (x)}$ que si elle est continue en tous les points de discontinuité de ${\alpha (x)}$. Par contre une fonction peut avoir une intégrale de Stieltjès-Riemann et admettre cependant tous les points d’un intervalle pour points de discontinuité. Il suffit que cet intervalle soit un groupe intégrable par rapport à ${\alpha (x)}$, c’est-à-dire qu’il suffit que ${\alpha (x)}$ soit constante dans cet intervalle. On voit combien la nature des groupes intégrables varie quand varie ${\alpha (x)}$.

En utilisant la théorie de la mesure qui va être développée, le lecteur démontrera facilement, comme au Chapitre II, que la condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonction ait une intégrale de Stieltjès-Riemann c’est que l’ensemble de ses

de divisions $\mathrm {D} _{i}$ telles que tout point de discontinuité de ${\alpha (x)}$ appartienne à toutes les $\mathrm {D} _{i}$ à partir d’une certaine valeur de l’indice.

1. C’est-à-dire « enfermé dans des intervalles ouverts ».