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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.
tous les
sont au plus égaux à l’oscillation
de
dans
, les
sont positifs, donc cette quantité est au plus égale à
![{\displaystyle \Omega \sum _{0}^{n}\left[\delta _{i}v-|\delta _{i}\alpha |\right]=\Omega \mathrm {V} -\Omega \sum _{0}^{n}|\delta _{i}\alpha |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed0165e4b7a1b29aa8acda1d0de038e6b160a316)
.
Mais on sait (p. 61) que dans les conditions ici considérées
tend vers
. De là résultent les relations suivantes :
![{\displaystyle \mathrm {D} \leqq \lim {\overline {\mathrm {S} }}\leqq \mathrm {E} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5569f034105f08eef90f7ff073fab25ed99beca)
;
![{\displaystyle \mathrm {D} \leqq \lim {\underline {\mathrm {S} }}\leqq \mathrm {E} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95b3e038307b13c3cdce9d0df22894e8be8bd0d)
;
![{\displaystyle \lim {\left({\overline {\mathrm {S} }}-{\underline {\mathrm {S} }}\right)}=\mathrm {E} -\mathrm {D} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d80df5b3e5fb5f0dcaf3898157893cd819cb7c)
;
donc on a
![{\displaystyle \lim {\overline {\mathrm {S} }}=\mathrm {E} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9358bf5d9a97dc090f45788f29c7ef44e27c06ba)
,
![{\displaystyle \lim {\underline {\mathrm {S} }}=\mathrm {D} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6b33af95072bb53d02a20e7545ee6a9529e42b6)
.
Le théorème est démontré et l’on a pour les intégrales par excès et par défaut les expressions
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {E} &={\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[\alpha (x)\right]={\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[p(x)\right]-{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[n(x)\right]{\text{,}}\\\mathrm {D} &={\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[\alpha (x)\right]={\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[p(x)\right]-{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[n(x)\right]{\text{.}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66da26882579dd7daf248df7ab44795bc05155cb)
Pour que nos énoncés se réduisent exactement à ceux du Chapitre II quand on fait
, convenons d’appeler oscillation moyenne de
dans
, prise par rapport à
, la limite du rapport
![{\displaystyle {\frac {\displaystyle \sum _{0}^{n}\omega _{i}\,\delta _{i}v}{\displaystyle \sum _{0}^{n}\delta _{i}v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e31b2a1741db597ffc31f56bd6ca631451ebb05)
,
c’est-à-dire le nombre
![{\displaystyle \omega ={\frac {\mathrm {E} -\mathrm {D} }{\mathrm {V} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4cf945465f429e96005442ccc7167ee02b77894)
;
alors la condition nécessaire et suffisante pour que les sommes
tendent[1] vers une limite déterminée, que nous appellerons
- ↑ On remarquera qu’ici il n’est plus nécessaire de ne considérer que des suites