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CHAPITRE XI.

Il serait facile de démontrer directement, par des raisonnements entièrement analogues à ceux du Chapitre VII, que cette définition fournit un nombre déterminé, que ce nombre vérifie bien les conditions de notre problème et d’en trouver les principales propriétés. Mais nous allons faire tout cela d’un seul coup en prouvant quel ${\mathrm {I} (f)}$ est identique à l’intégrale de ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]}$ définie page 261. Nous utiliserons les fonctions $x(v)$ et ${\mathrm {A} (v)}$ qui nous ont alors servi.

L’expression précédemment obtenue de la mesure d’un ensemble, par rapport à ${\alpha (x)}$ , nous donne

\mathrm {I} (f)=\lim _{\varepsilon =0}\sum l_{i}\,m_{\alpha (x)}[\mathrm {E} (\psi _{i}=1)]=\lim _{\varepsilon =0}\sum l_{i}\int _{\mathrm {E} _{v}(\psi _{i}=1)}{'\!\mathrm {A} (v)}\,\mathrm {d} v

;

${\mathrm {E} _{v}(\psi _{i}=1)}$ étant le transformé sur ${(0,\mathrm {V} )}$ de ${\mathrm {E} (\psi _{i}=1)}$ .

De là on déduit, en utilisant les propriétés des intégrales ordinaires de fonctions sommables,

{\begin{aligned}\mathrm {I} (f)&=\lim _{\varepsilon =0}\sum l_{i}\int _{0}^{\mathrm {V} }\psi _{i}[x(v)].{'\!\mathrm {A} (v)}\,\mathrm {d} v=\lim _{\varepsilon =0}{\int _{0}^{\mathrm {V} }\varphi [x(v)].{'\!\mathrm {A} (v)}\,\mathrm {d} v}\\&=\int _{0}^{\mathrm {V} }\lim _{\varepsilon =0}{\left\lbrace \varphi [x(v)].{'\!\mathrm {A} (v)}\right\rbrace }\,\mathrm {d} v=\int _{0}^{\mathrm {V} }f(x,v).{'\!\mathrm {A} (v)}\,\mathrm {d} v\\&=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]{\text{.}}\end{aligned}}

La définition que nous venons de donner, et qui est due à M. Radon, est donc équivalente à celle de la page 261 et celle-ci nous dispense de toute étude directe des propriétés de l’intégrale de Stieltjès. Nous allons pourtant montrer, à titre d’exemple, comment se présente la généralisation de la notion de fonction absolument continue^[1] ; mais, auparavant, examinons comment il

↑ Parmi les questions que pourra traiter le lecteur à titre d’exercice je signale les suivantes. Appliquer les méthodes de Jordan au problème de la mesure relative à ${\alpha (x)}$ ; définir l’étendue par rapport à ${\alpha (x)}$ ; montrer que les fonctions mesurables J par rapport à ${\alpha (x)}$ sont les fonctions intégrables, au sens de Stieltjès-Riemann, par rapport à ${\alpha (x)}$ . Comparer le champ d’extension de la définition de Radon à celui des diverses définitions données dans le paragraphe I de ce Chapitre ; et en particulier montrer que, de même que l’extension de la notion de mesure obtenue (p. 277) à l’aide d’un changement de variable de la forme ${t=x+v(x)}$ , ne s’appliquait qu’aux ensembles qui sont mesurables

[p284-1] Parmi les questions que pourra traiter le lecteur à titre d’exercice je signale les suivantes. Appliquer les méthodes de Jordan au problème de la mesure relative à ${\alpha (x)}$ ; définir l’étendue par rapport à ${\alpha (x)}$ ; montrer que les fonctions mesurables J par rapport à ${\alpha (x)}$ sont les fonctions intégrables, au sens de Stieltjès-Riemann, par rapport à ${\alpha (x)}$ . Comparer le champ d’extension de la définition de Radon à celui des diverses définitions données dans le paragraphe I de ce Chapitre ; et en particulier montrer que, de même que l’extension de la notion de mesure obtenue (p. 277) à l’aide d’un changement de variable de la forme ${t=x+v(x)}$ , ne s’appliquait qu’aux ensembles qui sont mesurables

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