Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre XI

Henri Lebesgue

Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives

Gauthier-Villars, 1928 (p. 252-313).

CHAPITRE XI.

L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

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En 1894, Stieltjès, à l’occasion de recherches relatives à des développements en fractions continues^[1], a défini un nouveau mode d’intégration des fonctions continues. Il importe de bien comprendre l’originalité de la généralisation de Stieltjès et en quoi elle diffère profondément de celles que nous avons examinées jusqu’ici. Au Chapitre I, nous avions rappelé ce qu’on appelle l’intégration dans les cours élémentaires de calcul infinitésimal ; c’est une opération bien déterminée faisant correspondre un nombre à chaque fonction continue $f(x)$. Aux Chapitres II, III, VI, VII, X nous avons défini cette opération pour des familles de fonctions $f(x)$ de plus en plus larges ; nous avons étendu la notion d’intégration en profondeur dans la mine des fonctions $f(x)$. Stieltjès, lui, laisse invariable la famille de fonctions $f(x)$ considérées ; mais, pour la même fonction $f(x)$, il définit autant d’intégrations que l’on veut ; chacune d’elles fait correspondre un nombre à $f(x)$. Il étend la notion d’intégration en surface dans le champ des opérations fonctionnelles.

Dans ce Chapitre, nous donnerons la définition de l’intégrale de Stieltjès d’une fonction continue $f(x)$, ce qui est l’analogue du Chapitre I, puis nous devrions, comme aux Chapitres II, III, VI, VII, X, étendre cette notion à des classes de fonctions de plus en plus larges, enfin nous aurions à examiner, comme aux Chapitres IV, V, VIII, IX, des notions et des problèmes liés à la nouvelle intégrale. L’exécution de ce programme supposerait effectuées des recherches qui n’ont même pas encore été abordées ; sur bien des points nous nous contenterons de poser des problèmes.

I. — L’intégration de Stieltjès définie à l’aide de la théorie des fonctions sommables.

Soit ${\alpha (x)}$ une fonction à variation bornée dans un intervalle ${(a,b)}$ ; nous l’appellerons la fonction déterminante de l’intégration qui va être définie.

$f(x)$ étant une fonction continue dans ${(a,b)}$, nous appelons intégrale de Stieltjès de $f(x)$, prise dans ${(a,b)}$ par rapport à la fonction déterminante ${\alpha (x)}$, la limite de la somme

$\mathrm {S} =\sum _{0}^{n}f(\xi _{i})[\alpha (x_{i+1})-\alpha (x_{i})]$,

relative à une division de ${(a,b)}$ faite à l’aide de valeurs $x_{i}$ se succédant dans l’ordre : ${x_{0}=a}$, $x_{1}$, $x_{2}$, …, ${x_{n+1}=b}$, quand on fait croître indéfiniment le nombre $n$ et que l’on choisit les $x_{i}$ de façon que le maximum de ${x_{i+1}-x_{i}}$ tende vers zéro. $\xi _{i}$ désigne une valeur quelconque de $x$ prise dans ${(x_{i},x_{i+1})}$.

Pour justifier cette dénomination, il faut, prouver que la limite existe. Considérons une suite de divisions de ${(a,b)}$, soit $\mathrm {D} _{1}$, $\mathrm {D} _{2}$, …, obtenues chacune par subdivision des intervalles de la division précédente, et soient $\mathrm {S} _{1}$, $\mathrm {S} _{2}$, … les valeurs de $\mathrm {S}$ fournies par ces divisions et certains choix des $\xi _{i}$.

Soit ${f(\xi _{i})[\alpha (x_{i+1})-\alpha (x_{i})]}$ la contribution dans $\mathrm {S} _{k}$ d’un des intervalles de $\mathrm {D} _{k}$. Dans $\mathrm {D} _{k+l}$ l’intervalle ${(x_{i},x_{i+1})}$ se trouve divisé par des points $y_{j}$ et fournit une contribution de la forme

$\textstyle \sum _{1}f(\eta _{j})[\alpha (y_{j+1})-\alpha (y_{j})]$,

la sommation étant étendue à certaines valeurs de $j$. Or, avec les mêmes valeurs de $j$, on a

$f(\xi _{i})[\alpha (x_{i+1})-\alpha (x_{i})]=\textstyle \sum _{1}f(\xi _{i})[\alpha (y_{j+1})-\alpha (y_{j})]$.

La différence entre les deux contributions de ${(x_{i},x_{i+1})}$ est donc

${\begin{aligned}\textstyle \sum _{1}[f(\eta _{j})-f(\xi _{i})][\alpha (y_{j+1})-\alpha (y_{j})]&\leqq \omega _{i}\textstyle \sum _{1}|\alpha (y_{j+1})-\alpha (y_{j})|\\&\leqq \omega _{i}\mathrm {V} _{i}{\text{,}}\end{aligned}}$

$\omega _{i}$ désignant l’oscillation de $f(x)$ dans ${(x_{i},x_{i+1})}$ et $\mathrm {V} _{i}$ la variation totale de ${\alpha (x)}$ dans le même intervalle.

D’où, par addition,

$|\mathrm {S} _{k}-\mathrm {S} _{k+l}|\leqq \Omega _{k}\mathrm {V}$,

$\mathrm {V}$ étant la variation totale de ${\alpha (x)}$ dans ${(a,b)}$ et $\Omega _{k}$ le maximum de l’oscillation de $f(x)$ dans les intervalles de la division $\mathrm {D} _{k}$. Or $\Omega _{k}$ tend vers zéro quand $k$ augmente indéfiniment, par hypothèse, donc la suite des $\mathrm {S} _{k}$ est convergente.

Le cas particulier des suites $\mathrm {D} _{1}$, $\mathrm {D} _{2}$, …, obtenues par subdivisions successives, ainsi examiné, on passe au cas général par le raisonnement qui nous a tant de fois servi.

L’intégrale que nous venons de considérer est l’intégrale définie, elle se note

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]$.

Elle jouit évidemment des propriétés

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=-\int _{b}^{a}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]$,

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]+\int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]+\int _{c}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=0$,

$\int _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]+\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]$.

Pour cette intégrale, le théorème de la moyenne s’énonce ainsi : Si l’on a

$|f(x)|<\mathrm {M}$,

il en résulte

$\left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]\right\vert <\mathrm {MV}$,

$\mathrm {V}$ étant la variation totale de ${\alpha (x)}$ dans ${(a,b)}$.

Toutes ces propriétés résultent de suite de l’examen des sommes $\mathrm {S}$.

La fonction

$\mathrm {F} (x)={\text{const.}}+\int _{a}^{x}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]$

est dite la fonction d’une variable intégrale indéfinie, au sens de Stieltjès, de $f(x)$ prise par rapport à ${\alpha (x)}$. Cette définition s’applique pour ${a<x\leqq b}$, nous compléterons tout à l’heure la définition pour ${x=a}$.

L’intégrale indéfinie est une fonction à variation bornée. Représentons par ${\mathrm {V} (x)}$ la variation totale de ${\alpha (x)}$ de $a$ à $x$ on a ;

$|\mathrm {F} (l)-\mathrm {F} (m)|=\left\vert \int _{m}^{l}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]\right\vert \leqq \mathrm {M} [\mathrm {V} (l)-\mathrm {V} (m)]$,

$\mathrm {M}$ désignant la limite supérieure du module de $f(x)$ dans ${(a,b)}$. Donc si l’on partage ${(a,b)}$ en un nombre fini d’intervalles ${(x_{i},x_{i+1})}$ on a

$\textstyle \sum |\mathrm {F} (x_{i+1})-\mathrm {F} (x_{i})|\leqq \mathrm {M} \sum [\mathrm {V} (x_{i+1})-\mathrm {V} (x_{i})]=\mathrm {MV}$.

Cette inégalité démontre la proposition et donne la limite supérieure $\mathrm {MV}$ pour la variation totale de l’intégrale indéfinie.

Lorsque la fonction déterminante est continue, l’intégrale indéfinie est continue. En effet, dans ce cas, ${\mathrm {V} (l)-\mathrm {V} (m)}$ tend vers zéro avec la longueur de ${(m,l)}$ ; donc il en est de même de ${\mathrm {F} (l)-\mathrm {F} (m)}$.

D’une façon plus générale, l’intégrale indéfinie est continue en tout point de continuité de ${\alpha (x)}$. Mais elle est discontinue en $x_{0}$ si ${f(x_{0})}$ est différent de zéro et si ${\alpha (x)}$ admet $x_{0}$ pour point de discontinuité. En effet, $x_{0}$ étant supposé différent de $a$, soient ${\beta (x)}$ et ${\gamma (x)}$ deux fonctions définies comme il suit :

pour ${x<x_{0}}$,

$\beta (x)=\alpha (x)$,$\gamma (x)=0$ ;

en $x_{0}$,

$\beta (x_{0})=\alpha (x_{0}-0)$,$\gamma (x_{0})=\alpha (x_{0})-\alpha (x_{0}-0)$ ;

pour ${x>x_{0}}$

$\beta (x)=\alpha (x)-\alpha (x_{0}+0)+\alpha (x_{0}-0)$, $\qquad \quad \;\gamma (x)=\alpha (x_{0}+0)-\alpha (x_{0}-0)$.

${\beta (x)}$ et ${\gamma (x)}$ sont deux fonctions à variations bornées dont la somme est ${\alpha (x)}$. L’intégrale indéfinie ${\mathrm {F} (x)=\mathrm {A} (x)}$, relative à ${\alpha (x)}$, est donc la somme de celles relatives à ${\beta (x)}$ et ${\gamma (x)}$ ; soient ${\mathrm {B} (x)}$ et ${\mathrm {C} (x)}$. Or ${\mathrm {B} (x)}$ est continue en $x_{0}$, car ${\beta (x)}$ est continue en $x_{0}$ et ${\mathrm {C} (x)}$ est évidemment égale à

une constante $\mathrm {K}$,	pour $x<x_{0}$ ;
$\mathrm {K} +f(x_{0})[\alpha (x_{0})\;\;\,\quad -\alpha (x_{0}+0)]$,	pour» $x=x_{0}$ ;
$\mathrm {K} +f(x_{0})[\alpha (x_{0}+0)-\alpha (x_{0}-0)]$,	pour» $x>x_{0}$.

Donc ${\mathrm {C} (x)}$ est discontinue en $x_{0}$, et par suite aussi ${\mathrm {A} (x)}$, si ${f(x_{0})}$ est différent de zéro. En même temps, nous avons prouvé que : Si l’on désigne par ${s_{g}(x)}$ et ${s_{d}(x)}$ les sauts de gauche et de droite de ${\alpha (x)}$ au point $x$, la fonction des sauts de l’intégrale indéfinie de $f(x)$, prise par rapport à ${\alpha (x)}$, est

$\Phi (x)=\sum _{a\leqq x_{i}<x}f(x_{i})s_{d}(x_{i})+\sum _{a<x_{i}\leqq x}f(x_{i})s_{g}(x_{i})$,

les sommations étant étendues à toutes les valeurs indiquées par les inégalités, ou, ce qui est équivalent, à toutes celles de ces valeurs qui sont des points de discontinuité de ${\alpha (x)}$. Toutefois, c’est par une convention nouvelle, complétant la définition de l’intégrale indéfinie, que nous avons fait figurer le point $a$ dans la première sommation.

Par suite aussi, l’intégrale corrigée de sa fonction des sauts, ${\mathrm {F} (x)-\Phi (x)}$, est l’intégrale indéfinie, au sens de Stieltjès, par rapport à la fonction déterminante obtenue en corrigeant ${\alpha (x)}$ de sa fonction des sauts

$\alpha (x)-\sum _{a\leqq x_{i}<x}s_{d}(x_{i})-\sum _{a<x_{i}\leqq x}s_{g}(x_{i})$.

Les intégrales de Stieltjès relatives à des fonctions déterminantes discontinues, se calculent donc facilement à partir de celles résultant des fonctions déterminantes continues. Celles-ci, dans les cas usuels, se calculent de suite.

Supposons, par exemple, ${\alpha (x)}$ continue et croissante, au sens strict, ${\alpha (x_{1})>\alpha (x_{0})}$ pour ${x_{1}>x_{0}}$ ; le changement de variable ${\alpha =\alpha (x)}$ transforme $f(x)$ en une fonction $g(x)$ et la définition de ${\int f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]}$ en celle de l’intégrale ordinaire de ${g(\alpha )}$. Ainsi

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=\int _{\alpha (a)}^{\alpha (b)}g(\alpha )\,\mathrm {d} \alpha$,

et l’on est ramené à une intégration ordinaire de fonction continue. C’est d’ailleurs la formule précédente qui est l’origine même de la notation de l’intégrale de Stieltjès.

Le cas général où ${\alpha (x)}$ est continue se ramène à celui-ci.

Soient $p(x)$ et $n(x)$ les deux variations totales positive et négative de ${\alpha (x)}$, les deux fonctions

$\alpha _{1}(x)=p(x)+x$,$\alpha _{2}(x)=n(x)+x$

sont croissantes au sens strict, et l’on a

$\alpha (x)=\alpha _{1}(x)-\alpha _{2}(x)$.

Si donc on pose

$f(x)=g_{1}(\alpha _{1})=g_{2}(\alpha _{2})$,

on en déduit

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=\int _{\alpha _{1}(a)}^{\alpha _{1}(b)}g_{1}(\alpha _{1})\,\mathrm {d} \alpha _{1}-\int _{\alpha _{2}(a)}^{\alpha _{2}(b)}g_{2}(\alpha _{2})\,\mathrm {d} \alpha _{2}$.

Enfin, le cas le plus général se traite de même : ${\alpha _{1}(x)}$ et ${\alpha _{2}(x)}$ étant formées à l’aide des variations totales de ${\alpha (x)}$ corrigée de sa fonction des sauts, on a, avec les notations précédentes,

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=&\sum _{a\leqq x_{i}<x}f(x_{i})s_{d}(x_{i})+\sum _{a<x_{i}\leqq x}f(x_{i})s_{g}(x_{i})\\&+\int _{\alpha _{1}(a)}^{\alpha _{1}(b)}g_{1}(\alpha _{1})\,\mathrm {d} \alpha _{1}-\int _{\alpha _{2}(a)}^{\alpha _{2}(b)}g_{2}(\alpha _{2})\,\mathrm {d} \alpha _{2}{\text{.}}\end{aligned}}$

Toute intégrale de Stieltjès s’exprime donc à l’aide d’intégrales ordinaires. Avant de tirer des conséquences de ce fait essentiel, donnons d’autres formules équivalentes à la précédente. Celle-ci présente l’avantage de ne faire appel à l’intégration que sous sa forme la plus primitive : intégrale d’une fonction continue dans un intervalle ; par contre elle exige deux intégrales, l’emploi des séries et des changements de variables.

Supposons que ${\alpha (x)}$ soit continue, croissante au sens strict, et à dérivée continue ; alors aucun changement de variable n’est nécessaire car on a

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=\int _{\alpha (a)}^{\alpha (b)}g(\alpha )\,\mathrm {d} \alpha =\int _{a}^{b}f(x)\alpha '(x)\,\mathrm {d} x$,

en revenant de la variable $\alpha$ à la variable $x$ par la formule classique du changement de variable^[2]. En somme, nous traitons ici l’intégrale de Stieltjès en remarquant qu’elle se réduit à l’intégrale curviligne ${\int _{a,\alpha (a)}^{b,\alpha (b)}f(x)\,\mathrm {d} \alpha }$, attachée à la courbe ${\alpha =\alpha (x)}$.

La formule précédente s’étend au cas où ${\alpha (x)}$ est seulement supposée absolument continue ; désignons alors par ${'\!\alpha (x)}$ la fonction, déterminée seulement aux points d’un ensemble de mesure nulle près, dont ${\alpha (x)}$ est l’intégrale indéfinie ; fonction qu’on pourrait appeler la presque dérivée de ${\alpha (x)}$. On a

$\mathrm {S} =\sum f(\xi _{i})\left[\alpha (x_{i+1})-\alpha (x_{i})\right]=\sum f(\xi _{i})\int _{x_{i}}^{x_{i+1}}{'\!\alpha (x)}\,\mathrm {d} x$.

Donc

$\mathrm {S} -\int _{a}^{b}f(x).{'\!\alpha (x)}\,\mathrm {d} x=\sum \int _{x_{i}}^{x_{i+1}}\left[f(\xi _{i})-f(x)\right].{'\!\alpha (x)}\,\mathrm {d} x$.

Il en résulte, $\Omega$ désignant le maximum de l’oscillation de $f(x)$ dans les intervalles ${(x_{i},x_{i+1})}$ et $\mathrm {V}$ représentant toujours la variation totale de ${\alpha (x)}$ dans ${(a,b)}$,

$\left\vert \mathrm {S} -\int _{a}^{b}f(x).{'\!\alpha (x)}\,\mathrm {d} x\right\vert \leqq \Omega \sum \int _{x_{i}}^{x_{i+1}}\left|{'\!\alpha (x)}\right|\,\mathrm {d} x=\Omega \mathrm {V}$.

D’où, par passage à la limite,

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} \left[\alpha (x)\right]=\int _{a}^{b}f(x).{'\!\alpha (x)}\,\mathrm {d} x$.

Lorsque la fonction à variation bornée ${\alpha (x)}$ est simplement supposée continue, un changement de variable suffit pour nous ramener au cas précédent ; il est clair en effet que si l’on a un changement de variable ${(t|x)}$ uniforme dans les deux sens faisant correspondre ${(t_{1},t_{2})}$ à ${(a,b)}$, on a toujours

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} \left[\alpha (x)\right]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f[x(t)]\,\mathrm {d} \!\left\{\alpha \!\left[x(t)\right]\right\}$.

Il suffit de choisir $t$ de manière que ${\alpha [x(t)]}$ soit absolument continue en $t$ pour pouvoir appliquer la formule précédente. Cette variable $t$ pourrait être la longueur de la courbe ${\alpha =\alpha (x)}$, depuis $a$ jusqu’à $x$ ; il est plus simple ici de prendre^[3]

$t=x+\mathrm {V} (x)$,

${\mathrm {V} (x)}$ étant, comme précédemment, la variation totale de ${\alpha (x)}$ de $a$ à $x$. Alors on a, en posant ${\alpha [x(t)]=\mathrm {A} (t)}$,

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=\int _{a}^{b+\mathrm {V} }f[x(t)].{'\!\mathrm {A} (t)}\,\mathrm {d} t$.

Si ${\alpha (x)}$ était continue et variable dans tout intervalle on pourrait poser ${v=\mathrm {V} (x)}$ et l’on aurait

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=\int _{0}^{\mathrm {V} }f[x(v)].{'\!\alpha [x(v)]}\,\mathrm {d} v$.

Nous allons étendre cette formule à tous les cas : posons pour cela les définitions suivantes :

${\mathrm {V} (x)}$ désignant la variation totale, de $a$ à $x$, de la fonction déterminante ${\alpha (x)}$, à toute valeur $v_{0}$ comprise entre 0 et ${\mathrm {V} =\mathrm {V} (b)}$, il correspond :

a. Soit une ou plusieurs valeurs de $x$ telles que l’on ait ${v_{0}=\mathrm {V} (x)}$, nous choisissons alors l’une de ces valeurs $x_{0}$ et nous posons

$x_{0}=x(v_{0})$,$\mathrm {A} (v_{0})=\alpha [x(v_{0})]=\alpha (x_{0})$,

b. Soit une valeur $x_{0}$, telle que l’on ait

$\mathrm {V} (x_{0}-0)\leqq v_{0}<\mathrm {V} (x_{0})$ou$\mathrm {V} (x_{0})<v_{0}\leqq \mathrm {V} (x_{0}+0)$ ;

nous posons alors ${x_{0}=x(v_{0})}$ et, dans le premier cas

$\mathrm {A} (v_{0})=\alpha (x_{0}-0)+{\frac {\alpha (x_{0})-\alpha (x_{0}-0)}{\mathrm {V} (x_{0})-\mathrm {V} (x_{0}-0)}}\left[v_{0}-\mathrm {V} (x_{0}-0)\right]$,

dans le second

$\mathrm {A} (v_{0})=\alpha (x_{0})+{\frac {\alpha (x_{0}+0)-\alpha (x_{0})}{\mathrm {V} (x_{0}+0)-\mathrm {V} (x_{0})}}\left[v_{0}-\mathrm {V} (x_{0})\right]$,

Avec ces conventions, on a

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=\int _{0}^{\mathrm {V} }f[x(v)].{'\!\mathrm {A} (v)}\,\mathrm {d} v$.

Pour justifier cet énoncé, partageons ${(a,b)}$ en intervalles partiels $\delta _{i}$ dans chacun desquels l’oscillation de $f(x)$ est inférieure à $\varepsilon$. Dans chaque intervalle ${\delta _{i}=(l_{i},m_{i})}$ choisissons arbitrairement une valeur ${l_{i}\leqq \xi _{i}\leqq m_{i}}$ et posons

${\Delta _{i}=\left[\mathrm {V} (l_{i}),\mathrm {V} (m_{i})\right]}$,${\Delta _{i}\mathrm {V} =\mathrm {V} (m_{i})-\mathrm {V} (l_{i})]}$.

Alors on a

${\begin{aligned}&\quad \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]-\sum _{i}{\big [}f(\xi _{i})\{\alpha (m_{i})-\alpha (l_{i})\}{\big ]}\right\vert \\&\qquad =\left\vert \sum _{i}\int _{\delta _{i}}\left[f(x)-f(\xi _{i})\right]\,\mathrm {d} [\alpha (x)]\right\vert \\&\qquad \leqq \sum _{i}\left[\varepsilon \int _{\delta _{i}}\mathrm {dV} (x)\right]=\varepsilon \sum _{i}\Delta _{i}\mathrm {V} =\varepsilon \mathrm {V} {\text{ ;}}\\&\left\vert \int _{0}^{\mathrm {V} }f[x(v)].{'\!\mathrm {A} (v)}\,\mathrm {d} v-\sum _{i}{\big [}f(\xi _{i})\{\alpha (m_{i})-\alpha (l_{i})\}{\big ]}\right\vert \\&\qquad =\left\vert \sum _{i}\int _{\Delta _{i}}{\big \{}f[x(v)]-f(\xi _{i}){\big \}}.{'\!\mathrm {A} (v)}\,\mathrm {d} v\right\vert \\&\qquad \leqq \sum _{i}\left[\varepsilon \int _{\Delta _{i}}\left\vert {'\!\mathrm {A} (v)}\right\vert \,\mathrm {d} v\right]=\varepsilon \sum _{i}\Delta _{i}\mathrm {V} =\varepsilon \mathrm {V} {\text{.}}\end{aligned}}$

Le théorème résulte de suite du rapprochement de ces deux inégalités.

La fonction ${\mathrm {A} (v)}$ a, dans ${(v_{1},v_{2})}$, une variation totale égale à ${v_{2}-v_{1}}$ ; ${\mathrm {A} (v)}$ a donc presque partout une dérivée égale à ±1 et par suite on peut supposer ${'\!\mathrm {A} (v)}$ partout égale à ±1. Cela rend la formule précédente particulièrement simple ; mais, pour ce qui suit, les formules plus compliquées obtenues auparavant conviendraient aussi fort bien ; c’est surtout pour fixer les idées que nous partirons d’une formule bien déterminée de réduction des intégrales de Stieltjès aux intégrales ordinaires ; nous utiliserons la dernière formule établie. Elle exige que soit connue la théorie des fonctions sommables ; mais, dès que cette théorie est connue, le second membre de notre formule a un sens pour des cas beaucoup plus étendus que celui examiné jusqu’ici, où $f(x)$ était continue. Et par suite nous pouvons prendre la formule

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]=\int _{0}^{\mathrm {V} }f[x(v)].{'\!\mathrm {A} (v)}\,\mathrm {d} v$

comme définition même de l’intégrale de Stieltjès de $f(x)$.

Cette définition s’appliquera, en n’utilisant pour le moment que l’intégration des fonctions sommables, toutes les fois que ${f[x(v)].{'\!\mathrm {A} (v)}}$ sera sommable, donc pour toutes les fonctions ${f[x(v)]}$ qui sont sommables, puisque ${{'\!\mathrm {A} (v)}=\pm 1}$, c’est-à-dire pour toutes les fonctions $f(x)$ qui sont sommables quand on prend pour variable la variation totale $v$ de ${\alpha (x)}$ entre $a$ à $x$, et en particulier pour toutes les fonctions bornées qui sont mesurables par rapport à $v$.

Or, parmi les fonctions $f(x)$ qui sont mesurables par rapport à $v$, il faut citer toutes les fonctions $f(x)$ qui sont mesurables B par rapport à $x$. En effet, la formule ${x=x(v)}$ fait correspondre à tout intervalle en $x$ un intervalle en $v$ ou un point, à une somme d’ensembles en $x$, une somme d’ensembles en $v$, à une différence d’ensembles en $v$ une différence d’ensembles en $v$ plus parfois certaines des valeurs de $v$ correspondant aux intervalles de constance de $x$ ; et comme ces valeurs sont en nombre fini ou dénombrables, à tout ensemble mesurable B en $x$ correspond un ensemble mesurable B en $v$. Si donc $f(x)$ est mesurable B en $x$, c’est-à-dire si l’ensemble ${\mathrm {E} \left[\alpha <f(x)<\beta \right]}$ est mesurable B, l’ensemble ${\mathrm {E} \left[\alpha <f[x(v)]<\beta \right]}$ l’est aussi et ${f[x(v)]}$ est mesurable B en $v$.

Donc la définition précédente s’applique à une classe de fonctions $f(x)$, variable avec la fonction déterminante ${\alpha (x)}$, mais qui contient toujours la famille des fonctions $f(x)$ bornées et mesurables B.

L’inconvénient de la méthode si rapide qui nous a donné ce résultat c’est qu’elle ne met nullement en évidence l’intérêt que peut présenter l’extension de la notion d’intégrale de Stieltjès. Un théorème de M. Frédéric Riesz mettra cet intérêt en évidence^[4].

II. — Les fonctionnelles linéaires.

Nul, depuis Stieltjès, ne s’était occupé de l’intégration d’une fonction par rapport à une fonction quand, en 1909, M. F. Riesz nous révéla que pourtant cette notion avait été l’objet d’assez nombreuses recherches mais sous un autre nom, sous le nom d’opération fonctionnelle linéaire.

Une opération fonctionnelle linéaire est celle qui associe à chaque fonction $f(x)$, appartenant à une certaine classe de fonctions, un nombre ${\mathrm {A} [f(x)]}$ tel que l’on ait :

1o	$\mathrm {A} [f_{1}(x)+f_{2}(x)]=\mathrm {A} [f_{1}(x)]+\mathrm {A} [f_{2}(x)]$ ;
2o	$\mathrm {A} [f(x)]\leqq \mathrm {M} \times \max {|f(x)|}$,

$\mathrm {M}$ étant un nombre fixe.

La fonctionnelle^[5] ${\mathrm {A} [f(x)]}$ fournie par l’opération linéaire est dite elle-même linéaire.

Ce sont surtout des questions de physique mathématique qui ont conduit à la notion de fonctionnelle linéaire ; la classe de fonctions qui se présentait alors, variable avec les questions, contenait toujours les fonctions continues mais aussi souvent divers types de fonctions discontinues. De sorte que le problème de l’extension du champ d’application des opérations fonctionnelles linéaires était virtuellement posé. Or cette extension sera acquise grâce à la généralisation précédente de la notion d’intégrale de Stieltjès et au théorème de M. Riesz.

Parmi les fonctionnelles linéaires définies dans le champ des fonctions continues se trouvent celles de la forme

$\int _{a}^{b}\mathrm {K} (x)f(x)\,\mathrm {d} x$ ;

aussi s’est-on adressé à des expressions de cette forme quand on a essayé de construire la fonctionnelle linéaire la plus générale ; M. Hadamard et M. Fréchet avaient obtenu dans cette direction des résultats fort intéressants ; mais il était réservé à M. Riesz de résoudre complètement la question en montrant que toute fonctionnelle linéaire définie pour toutes les fonctions continues dans ${(a,b)}$ est de la forme ${\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]}$ ; ${\alpha (x)}$ étant une fonction à variation bornée qui caractérise la fonctionnelle^[6].

Soit ${\mathrm {A} (f)}$ une fonctionnelle linéaire définie dans le champ $\mathrm {C}$ des fonctions continues de $a$ à $b$^[7]. L’égalité

$\mathrm {A} (f_{1}+f_{2}+\ldots +f_{p})=\mathrm {A} (f_{1})+\ldots +\mathrm {A} (f_{p})$

a donc lieu dans $\mathrm {C}$ ; il existe deux cas importants où l’on peut même supposer les fonctions $f_{i}$ en nombre infini. C’est d’une part, le cas où la série des $f_{i}$ converge uniformément, d’autre part le cas où tous les $f_{i}$, à partir d’une certaine valeur de $i$, sont de même signe.

Supposons, en effet, que la série des $f_{i}$ converge uniformément ; si $f$ est sa limite et $s_{p}$ la somme de ses $p$ premiers termes, on a, pour $p$ suffisamment grand ${|f-s_{p}|<\varepsilon }$, d’où

$|\mathrm {A} (f)-\mathrm {A} (s_{p})|=|\mathrm {A} (f-s_{p})|\leqq \varepsilon \mathrm {M}$.

Le premier cas est ainsi examiné ; or le second se ramène au premier, car si les $f_{i}$ sont toutes positives ou nulles et si la somme $f$ de la série des appartient au champ $\mathrm {C}$, l’ensemble $\mathrm {E} _{p}$ des points où l’on a ${|f-f_{p}|\geqq \varepsilon }$ est un ensemble fermé lorsqu’il existe, et comme $\mathrm {E} _{p}$ contient $\mathrm {E} _{p+1}$, et qu’il n’y a pas de point commun à tous les $\mathrm {E} _{p}$, l’ensemble $\mathrm {E} _{p}$ n’existe plus dès que $p$ est assez grand. Donc la série des $f_{i}$ converge uniformément.

Examinons maintenant le cas où l’on sait seulement que les $f_{i}$ sont positifs ou nuls, et que la série des $f_{i}$ converge vers une fonction bornée $f$^[8]. Alors on a, en remarquant que ${\mathrm {A} (f_{i})}$ et ${\mathrm {A} (-f_{i})}$ sont égaux et de signes contraires, et en posant ${\theta _{i}=\pm 1}$ et du signe de ${\mathrm {A} (f_{i})}$,

${\begin{aligned}\sum _{1}^{p}\left|\mathrm {A} (f_{i})\right|&=\sum _{1}^{p}\theta _{i}\mathrm {A} (f_{i})=\mathrm {A} \!\left[\sum _{1}^{p}\theta _{i}f_{i}\right]\\&\leqq \mathrm {M} \times \operatorname {max.\,de\,} {\left\vert \sum _{1}^{p}\theta _{i}f_{i}\right\vert }\\&\leqq \mathrm {M} \times \operatorname {max.\,de\,} {\sum _{1}^{p}f_{i}}\leqq \mathrm {M} \times \operatorname {max.\,de\,} {f}{\text{.}}\end{aligned}}$

Ainsi, lorsqu’une suite non décroissante ou non croissante de fonctions $s_{p}$ de $\mathrm {C}$ tend vers une limite bornée, la suite $\mathrm {A} (s_{p})$ converge.

Une autre propriété nous sera utile : si $f$ est une fonction de $\mathrm {C}$ et si $k$ est une constante, on a

$\mathrm {A} (kf)=k\,\mathrm {A} (f)$.

Cette propriété est évidente pour $k$ entier ou inverse d’un entier ; on arrive ensuite à $k$ commensurable, puis enfin on atteint $k$ quelconque par un passage à la limite uniforme.

Ceci posé, posons ${\alpha (a)=0}$ et, pour ${a<x_{i}\leqq b}$, prenons ${\alpha (x_{i})}$ égale à la limite des ${\mathrm {A} (f)}$ pour la suite décroissante des fonctions continues ${f_{n,x_{i}}(x)}$ égales à 1 de $a$ à $x_{i}$, égales à 0 de ${x_{i}+{\frac {1}{n}}}$ à $b$, linéaire de $x_{i}$ à ${x_{i}+{\frac {1}{n}}}$.

Une fonction continue quelconque dans ${(a,b)}$ peut être approchée autant que l’on veut à l’aide d’une combinaison linéaire de fonction ${f_{n,x_{i}}(x)}$. Formons, en effet, la fonction

${\begin{aligned}g_{n}(x)=f&(\xi _{p})f_{n,x_{p}}(x)+\left[f(\xi _{p-1})-f(\xi _{p})\right]f_{n,x_{p-1}}(x)\\&+\left[f(\xi _{p-2})-f(\xi _{p-1})\right]f_{n,x_{p-2}}(x)\\&+\ldots +[f(\xi _{1})-f(\xi _{2})]f_{n,x_{1}}(x){\text{,}}\end{aligned}}$

pour

$x_{0}=a<\xi _{1}<x_{1}<\xi _{2}<x_{2}<\ldots <x_{p-1}<\xi _{p}<x_{p}=b$ ;

elle est, dans chaque ${(x_{i-1},x_{i})}$, comprise entre ${f(\xi _{i-1})}$ et ${f(\xi _{i})}$ lorsque ${\frac {1}{n}}$ est inférieur à la plus petite différence ${x_{i}-x_{i-1}}$.

Si donc on a choisi les $x_{i}$ de manière que l’oscillation de $f(x)$ soit, dans chaque ${(x_{i-1},x_{i})}$, inférieure à $\varepsilon$, la différence ${f(x)-g_{n}(x)}$ est inférieure à $2\varepsilon$ dès que $n$ est assez grand. Et alors la différence ${\mathrm {A} [f(x)]-\mathrm {A} [g_{n}(x)]}$ sera inférieure à ${2\mathrm {M} \varepsilon }$.

Or nous connaissons la limite $\mathrm {S}$ de ${\mathrm {A} [g_{n}(x)]}$ pour $n$ très grand ; elle s’écrit

${\begin{aligned}\mathrm {S} =f&(\xi _{p})\alpha (x_{p})+\left[f(\xi _{p-1})-f(\xi _{p})\right]\alpha (x_{p-1})\\&+\ldots +\left[f(\xi _{1})-f(\xi _{2})\right]\alpha (x_{1})\end{aligned}}$

ou encore

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {S} &{}={}&&f(\xi _{1})\left[\alpha (x_{1})-\alpha (x_{0})\right]\\&&{}+{}&f(\xi _{2})\left[\alpha (x_{2})-\alpha (x_{1})\right]+\ldots +f(\xi _{p})\left[\alpha (x_{p})-\alpha (x_{p-1})\right]{\text{.}}\end{alignedat}}$

Et par suite ${\mathrm {A} (f)}$ est la limite de la somme précédente, c’est-à-dire que ${\mathrm {A} (f)}$ est l’intégrale de Stieltjès de $f(x)$, prise par rapport à ${\alpha (x)}$. Le théorème de M. Riesz sera démontré, dès que l’on aura vérifié que ${\alpha (x)}$ est à variation bornée.

Or ceci est évident ; si ${\alpha (x)}$ n’était pas à variation bornée, elle aurait une variation positive égale à $+\infty$, on pourrait donc trouver des intervalles ${(a_{1},b_{1})}$, ${(a_{2},b_{2})}$, …, extérieurs les uns aux autres et en nombre fini tels que ${\textstyle \sum [\alpha (b_{i})-\alpha (a_{i})]}$ surpasse ${2\mathrm {M} }$ ; $\mathrm {M}$ étant toujours le nombre qui figure dans la seconde propriété des fonctionnelles linéaires. Dès lors, pour les fonctions continues $\varphi _{i}$, égales à 1 dans les ${(a_{k},b_{k})}$, nulles dans les intervalles ${\left(b_{k}+{\frac {\scriptstyle 1}{i}},a_{k+1}-{\frac {\scriptstyle 1}{i}}\right)}$ et linéaires dans les intervalles ${\left(a_{k}-{\frac {\scriptstyle 1}{i}},a_{k}\right)}$, ${\left(b_{k},b_{k}+{\frac {\scriptstyle 1}{i}}\right)}$, fonctions qui tendent en décroissant vers la fonction $\varphi$ égale à 1 dans les ${(a_{k},b_{k})}$ et à 0 à l’extérieur, les nombres ${\mathrm {A} (\varphi _{i})}$ tendraient vers

$\textstyle \sum [\alpha (b_{i})-\alpha (a_{i})]>2\mathrm {M}$ ;

ce qui est impossible, puisque ${\mathrm {A} (\varphi _{i})}$ ne peut surpasser $\mathrm {M}$.

Ce théorème de M. Riesz attache à chaque fonctionnelle linéaire, définie pour les fonctions $f(x)$ continues dans un intervalle ${(a,b)}$, une fonction déterminante ${\alpha (x)}$ et ce que nous avons vu, relativement à l’extension des intégrales de Stieltjès, montre qu’une telle fonctionnelle peut être prolongée au champ de toutes les fonctions qui, par le passage de la variable $x$ à la variation totale $v$ de ${\alpha (x)}$ dans ${(a,x)}$, se transforment en fonctions sommables de $v$. Cette famille est variable avec ${\alpha (x)}$ mais il importe de noter qu’elle contient toujours toutes les fonctions mesurables B et bornées.

Quand on emploie des fonctionnelles linéaires de fonctions continues $f(x)$, l’une des propriétés les plus utiles est celle-ci : la somme ${\mathrm {A} [f(x)]+\mathrm {B} [f(x)]}$ de deux fonctionnelles linéaires ${\mathrm {A} [f(x)]}$ et ${\mathrm {B} [f(x)]}$ est elle-même une fonctionnelle linéaire.

Quand on veut étendre le champ des fonctions $f(x)$ et cependant conserver l’avantage de cette propriété, c’est donc à un champ fonctionnel indépendant de la fonction déterminante ${\alpha (x)}$ qu’il faut s’arrêter ; aussi est-il très intéressant de savoir que toutes les fonctionnelles linéaires définies dans le champ des fonctions continues peuvent être étendues au champ des fonctions mesurables B et bornées.

Il est clair que la fonctionnelle étendue au champ des fonctions mesurables B et bornées, telle que nous l’avons obtenue, y possède la propriété suivante :

3^o Si des fonctions $f_{i}(x)$ tendent en croissant vers une limite $f(x)$, on a

$\mathrm {A} [f(x)]=\lim _{i\to \infty }{\mathrm {A} [f_{i}(x)]}$.

Nous allons vérifier que les propriétés 1^o, 2^o, et 3^o suffisent à caractériser l’extension que nous avons faite au champ des fonctions mesurables B et bornées d’une fonctionnelle linéaire donnée, définie pour les fonctions continues.

Voyons, en effet, comment à partir des propriétés 1^o, 2^o et 3^o nous pourrions prolonger à un champ plus vaste une fonctionnelle linéaire ${\mathrm {A} (f)}$ donnée dans le champ des fonctions continues.

Nous avons vu que, pour $n$ croissant indéfiniment les fonctions $f_{n,x_{i}}(x)$ tendent en décroissant vers la fonction ${f_{x\leqq x_{i}}(x)}$ égale à 1 pour ${a\leqq x\leqq x_{i}}$ et à 0 pour ${x_{i}<x\leqq b}$ ; donc, d’après 1^o et 3^o, ${\mathrm {A} [f_{x\leqq x_{i}}(x)]}$ s’en déduit.

Posons, pour ${\alpha <\beta }$,

$f_{\alpha <x\leqq \beta }(x)=f_{x\leqq \beta }(x)-f_{x\leqq \alpha }(x)$.

De 1^o se déduit la valeur ${\mathrm {A} [f_{\alpha <x\leqq \beta }(x)]}$.

La suite des fonctions ${f_{\alpha -{\frac {1}{n}}<x\leqq \beta }(x)}$ tend en décroissant, quand $n$ augmente indéfiniment, vers une limite ${f_{\alpha \leqq x\leqq \beta }(x)}$ ; donc la valeur de ${\mathrm {A} [f_{\alpha \leqq x\leqq \beta }(x)]}$ est déterminée par 1^o et 3^o.

Nous avons ainsi déterminé la valeur de ${\mathrm {A} [f_{\mathrm {E} }(x)]}$ pour certaines fonctions ${f_{\mathrm {E} }(x)}$ nulles en dehors d’un ensemble $\mathrm {E}$, égales à 1 sur $\mathrm {E}$ ; nous venons d’arriver aux fonctions ${\mathrm {A} [f_{\alpha \leqq x\leqq \beta }(x)]}$ pour lesquelles l’ensemble $\mathrm {E}$ est un intervalle fermé. Or, à partir de tels intervalles on construit tout ensemble mesurable B par la répétition de deux opérations : additions d’ensembles sans points communs, soustraction d’un ensemble d’un autre qui le contient ; à la première de ces opérations

$\mathrm {E} =\mathrm {E} _{1}+\mathrm {E} _{2}+\mathrm {E} _{3}+\ldots$

les conditions 1^o et 3^o font correspondre l’égalité

$\mathrm {A} [f_{\mathrm {E} }]=\mathrm {A} [f_{\mathrm {E} _{1}}]+\mathrm {A} [f_{\mathrm {E} _{2}}]+\mathrm {A} [f_{\mathrm {E} _{3}}]+\ldots$,

à la deuxième

$\mathrm {E} =\mathrm {E} _{1}-\mathrm {E} _{2}$,

la condition 1^o fait correspondre

$\mathrm {A} [f_{\mathrm {E} }]=\mathrm {A} [f_{\mathrm {E} _{1}}]-\mathrm {A} [f_{\mathrm {E} _{2}}]$,

donc ${\mathrm {A} [f]}$ est définie pour chaque fonction ${f_{\mathrm {E} }(x)}$ relative à un ensemble $\mathrm {E}$ mesurable B.

Si maintenant $f(x)$ est une fonction mesurable B bornée quelconque, elle ne diffère que de $\varepsilon$ au plus de la fonction

$f^{\varepsilon }(x)={\textstyle \sum }i\varepsilon f_{\mathrm {E} [i\varepsilon \leqq f(x)<(i+1)\varepsilon ]}(x)$ ;

donc la suite des fonctions ${f^{\varepsilon }(x)}$ tend uniformément vers $f(x)$ quand $\varepsilon$ tend vers zéro et l’on déduit de 1^o et de 2^o, comme nous l’avons fait précédemment, que les nombres ${\mathrm {A} [f^{\varepsilon }(x)]}$ convergent vers une limite, que nous devons prendre pour valeur de ${\mathrm {A} [f(x)]}$.

Ainsi le prolongement à tout le champ des fonctions mesurables B et bornées, s’il est possible, est unique ; or nous avons vu qu’il était possible^[9].

L’extension à ce large champ fonctionnel^[10] est donc bien caractérisé par les conditions 1^o, 2^o et 3^o.

Nous allons, grâce à la notion d’intégrale de Stieltjès, obtenir une autre extension. À toute intégration définie nous avons attaché une intégration indéfinie fournissant une fonction de points, une fonction d’intervalles, une fonction d’ensemble mesurable ; de sorte que la notion d’intégrale de Stieltjès conduit à une intégrale indéfinie de Stieltjès fonction de point, à une intégrale indéfinie de Stieltjès fonction d’intervalle, à une intégrale indéfinie de Stieltjès fonction d’ensemble. Cette dernière nous permet, d’associer à la fonction $f(x)$ et à un ensemble $\mathrm {E} _{x}$ un nombre déterminé

$\int _{\mathrm {E} _{v}}f[x(v)].{'\!\mathrm {A} (v)}\,\mathrm {d} v=\int _{\mathrm {E} _{x}}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]$.

$\mathrm {E} _{v}$ étant l’ensemble des valeurs de $v$ pour lesquelles $x(v)$ appartient à $\mathrm {E} _{x}$. Voici donc définie l’intégrale de Stieltjès de $f(x)$ prise par rapport à ${\alpha (x)}$, et étendue à l’ensemble $\mathrm {E} _{x}$.

Cette intégrale est définie pour les ensembles $\mathrm {E} _{x}$ pour lesquels $\mathrm {E} _{v}$ est mesurable ; cette famille d’ensembles contient tous les ensembles $\mathrm {E} _{x}$ mesurables B.

L’intégrale est définie pour toute fonction ayant une valeur déterminée aux points de $\mathrm {E} _{x}$ et égale sur $\mathrm {E} _{x}$ à une fonction $f(x)$ pour laquelle ${f[x(v)]}$ est sommable dans ${(0,\mathrm {V} )}$. Donc en particulier cette définition s’applique à toute fonction $f(x)$ bornée et mesurable B sur un ensemble $\mathrm {E} _{x}$ mesurable B.

Or ${\int _{\mathrm {E} _{x}}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]}$ est évidemment une fonctionnelle linéaire dans le champ des fonctions $f(x)$ données sur $\mathrm {E} _{x}$ ; donc, quand une fonctionnelle linéaire ${\mathrm {A} _{\mathrm {I} }[f(x)]}$ est définie pour les fonctions continues dans un intervalle $\mathrm {I}$, on en déduit une famille de fonctionnelles linéaires ${\mathrm {A} _{\mathrm {E} }[f(x)]}$, attachées chacune à un ensemble $\mathrm {E}$ mesurable B situé dans $\mathrm {I}$ et définies pour les fonctions mesurables B bornées sur $\mathrm {E}$, par les conditions

1o	$\mathrm {A} _{\mathrm {E} }[f_{1}(x)+f_{2}(x)]=\mathrm {A} _{\mathrm {E} }[f_{1}(x)]+\mathrm {A} _{\mathrm {E} }[f_{2}(x)]$ ;
2o	$\mathrm {A} _{\mathrm {E} }[f(x)]\leqq \mathrm {M} \times [\operatorname {{\text{max. sur }}E{\text{ de }}} {|f(x)|}]$,

$\mathrm {M}$ étant un nombre fixe, inconnu, indépendant de $\mathrm {E}$ et de $f(x)$ ;

3^o Si $f_{i}(x)$ tend en croissant vers $f(x)$ sur $\mathrm {E}$, on a

$\mathrm {A} _{\mathrm {E} }[f(x)]=\lim _{i\to \infty }{\mathrm {A} _{\mathrm {E} }[f_{i}(x)]}$ ;

4^o Si $g(x)$ est égale à $f(x)$ sur $\mathrm {E}$ et nulle ailleurs, on a

$\mathrm {A} _{\mathrm {E} }[f(x)]=\mathrm {A} _{\mathrm {I} }[g(x)]$.

On peut être surpris de ce résultat car ${\mathrm {A} _{\mathrm {I} }[f(x)]}$ étant donnée, la fonction déterminante ${\alpha (x)}$ n’est pas unique. Il est bien clair, en effet, que si l’on modifie ${\alpha (x)}$ en un seul point $x_{0}$ intérieur à $\mathrm {I}$ cela ne modifie par ${\mathrm {A} _{\mathrm {I} }[f(x)]}$ pour les fonctions $f(x)$ continues dans $\mathrm {I}$, car on a

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{\mathrm {I} }[f(x)]&=\int _{a\leqq x<x_{0}}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]\\&\qquad +f(x_{0})\left[\alpha (x_{0}+0)-\alpha (x_{0}-0)\right]\\&\qquad +\int _{x_{0}<x\leqq b}f(x)\,\mathrm {d} \left[\alpha (x)\right]{\text{ ;}}\end{aligned}}$

et pourtant cela modifie en général

${\begin{aligned}\int _{a\leqq x\leqq x_{0}}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]&=\int _{a\leqq x<x_{0}}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]\\&\qquad +f(x_{0})[\alpha (x_{0})-\alpha (x_{0}-0)]{\text{.}}\end{aligned}}$

Le paradoxe vient uniquement de ce que l’on n’a, pour ${x_{0}>a}$, l’égalité

$\mathrm {A} _{a\leqq x\leqq x_{0}}\left[f(x)\right]=\int _{a\leqq x\leqq x_{0}}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]$,

qu’avec les fonctions $\alpha$ qui sont continues à droite en $x_{0}$. Tel était le cas pour la fonction ${\alpha (x)}$ qui a été construite au cours de la démonstration du théorème de M. Riesz, on le vérifiera facilement ; mais avec cette fonction on n’a pas

$\mathrm {A} _{x_{0}\leqq x\leqq b}\left[f(x)\right]=\int _{x_{0}\leqq x\leqq b}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]$,

quand $x_{0}$ est un point de discontinuité de ${\alpha (x)}$.

La difficulté que l’on rencontre ici est la même que celle qui s’est présentée précédemment (p. 153). Pour chaque fonction $f(x)$, ${\mathrm {A} _{\mathrm {E} }[f(x)]}$ est une fonction d’ensemble complètement additive ; si donc on veut avoir

$\mathrm {A} _{x_{1}<x\leqq x_{2}}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]={\mathcal {F}}(x_{2})-{\mathcal {F}}(x_{1})$,

en appelant ${{\mathcal {F}}(x)}$ l’intégrale indéfinie ${\int _{a}^{x}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]}$, il faut que ${{\mathcal {F}}(x)}$ puisse être fonction génératrice d’une fonction additive d’ensemble et par suite soit, comme nous l’avons vu à l’endroit indiqué, une fonction continue à droite. Or le saut de droite de ${{\mathcal {F}}(x)}$ est, en $x_{0}$, égal à ${f(x_{0})[\alpha (x_{0}+0)-\alpha (x_{0})]}$, donc ${\alpha (x)}$ doit être continue à droite.

Pour tourner la difficulté qui se présente ainsi, lorsque l’on veut étendre aux ensembles mesurables une fonctionnelle connue dans un intervalle grâce à une fonction ${\alpha (x)}$ déterminée et non continue à droite, on peut décomposer ${\alpha (x)}$ en sa fonction des sauts et sa partie continue

$\alpha (x)=\mathrm {S} (x)+\mathrm {C} (x)$ ;

${\mathrm {S} (x)}$ donne alors naissance à une fonctionnelle de la forme

$\textstyle \sum f(x_{0})[\alpha (x_{0}+0)-\alpha (x_{0}-0)]$,

dont la définition s’applique de suite aux fonctions $f(x)$ discontinues tout aussi bien qu’aux fonctions continues. Quant à l’extension de la fonctionnelle correspondant à ${\mathrm {C} (x)}$, elle ne soulève plus aucune difficulté^[11].

III. — Définition directe de l’intégrale de Stieltjès.

Cette étude des fonctionnelles linéaires fait mieux comprendre la signification des conditions 1I, 2I, …, 6I du problème d’intégration (page 105). Comparons ces conditions aux conditions 1F, 2F, 3F, 4F posées pour les fonctionnelles linéaires (page 269). 3I est identique à 1F ; 6I remplacera 3F ; 2I remplace 4F ; quant à 2F elle se trouve être une conséquence de 4I et 5I. Les conditions 1I, 4I, 5I ne servent qu’à caractériser la fonctionnelle ${\mathrm {A} f(x)}$ relative aux fonctions continues dont il faut faire le prolongement. En somme, l’intégrale d’une fonction continue $f(x)$ étant connue dans tout intervalle où la fonction est donnée, nous aurions pu, au Chapitre VII, nous borner à poser les conditions 1F, 2F, 3F et en déduire le prolongement de l’intégrale en raisonnant comme il y a un instant. Seulement, tandis que pour le prolongement de la fonctionnelle linéaire générale nous avons pu nous borner à prouver que le prolongement était unique, parce que le cas de l’intégrale avait été précédemment examiné, il faudrait maintenant vérifier directement que le prolongement est possible. C’est ce que nous allons faire en nous plaçant dans le cas de l’intégrale de Stieltjès la plus générale ; nous obtiendrons ainsi une définition directe de cette intégrale, d’où celle de l’intégrale ordinaire se déduira en faisant ${\alpha (x)\equiv x}$.

Mais, avant de rechercher une forme nouvelle de la définition de l’intégrale de Stieltjès, il convient de voir dans quel cas on peut employer sans modification la définition primitivement posée pour les fonctions continues.

Soit $f(x)$ une fonction bornée dans ${(a,b)}$ et ${\alpha (x)}$ une fonction à variation bornée, nous formons, comme il a été dit, la somme

$\mathrm {S} =\sum _{0}^{n}f(\xi _{i})\left[\alpha (x_{i+1})-\alpha (x_{i})\right]=\sum _{0}^{n}f(\xi _{i})\,\delta _{i}\alpha$.

Si, dans ${(x_{i},x_{i+1})}$, $f(x)$ varie entre $\mathrm {L} _{i}$ et $l_{i}$, nous désignerons par $\mathrm {L} '_{i}$ et $l'_{i}$ deux nombres définis par les conventions

$\mathrm {L} '_{i}=\mathrm {L} _{i}$,	$l'_{i}=l_{i}$,	si $\;\delta _{i}\alpha \geqq 0$,
$\mathrm {L} '_{i}=l_{i}$,	$l'_{i}=\mathrm {L} _{i}$,	si $\;\delta _{i}\alpha <0$,

$\mathrm {L} '_{i}$ et $l'_{i}$ seront les bornes supérieure et inférieure de $f(x)$ prises par rapport à ${\alpha (x)}$. L’oscillation de $f(x)$, toujours dans l’intervalle considéré, sera

$\omega _{i}=\mathrm {L} _{i}-l_{i}=\left\vert \mathrm {L} '_{i}-l'_{i}\right\vert$.

Ceci posé, si l’on fait varier les $\xi _{i}$ sans faire varier les $x_{i}$, $\mathrm {S}$ varie entre

${\overline {\mathrm {S} }}=\sum _{0}^{n}\mathrm {L} _{i}'\,\delta _{i}\alpha$et${\underline {\mathrm {S} }}=\sum _{0}^{n}l_{i}'\,\delta _{i}\alpha$ ;

nous allons montrer que ces sommes, pour une suite de divisions $\mathrm {D} _{1}$, $\mathrm {D} _{2}$, … en intervalles dont la longueur maximum tend vers zéro, tendent vers des limites déterminées

${\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[\alpha (x)\right]$,${\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[\alpha (x)\right]$,

— que nous appellerons les intégrales de Stieltjès-Darboux de $f(x)$, par excès et par défaut, — pourvu que tout point de discontinuité de ${\alpha (x)}$ soit point de la division $\mathrm {D} _{k}$, à partir d’une certaine valeur de $k$.

Si $p(x)$, $n(x)$, $v(x)$ sont les trois variations totales de ${\alpha (x)}$,

$\alpha (x)=\alpha (a)+p(x)-n(x)$,$v(x)=p(x)+n(x)$,

on a

${\begin{aligned}\sum _{0}^{n}l_{i}\,\delta _{i}p-\sum _{0}^{n}\mathrm {L} _{i}\,\delta _{i}n\leqq \mathrm {S} &=\sum _{0}^{n}f(\xi _{i})\,\delta _{i}[p-n]\\&\leqq \sum _{0}^{n}\mathrm {L} _{i}\,\delta _{i}p-\sum _{0}^{n}l_{i}\,\delta _{i}n{\text{.}}\end{aligned}}$

Or, pour les fonctions croissantes $p$ et $n$, l’étude des sommes telles que ${\textstyle \sum \mathrm {L} _{i}\,\delta _{i}p}$ est facile. Soit $\Delta _{1}$, $\Delta _{2}$, … une seconde suite de divisions assujettie aux mêmes conditions que la suite des $\mathrm {D} _{i}$ ; soient $s_{i}$ et $\sigma _{j}$ les nombres ${\textstyle \sum \mathrm {L} _{i}\,\delta _{i}p}$ fournis par $\mathrm {D} _{i}$ et $\Delta _{j}$ ; nous voulons comparer la suite des $s_{i}$ et celle des $\sigma _{j}$.

Si $j$ est pris assez grand, $i$ étant fixe, dans chaque intervalle fourni par $\Delta _{j}$ se trouve au plus un des points de $\mathrm {D} _{i}$ si bien que si ${(x,y)}$ est l’un des intervalles fourni par $\mathrm {D} _{i}$, $x$ sera dans un intervalle ${(r,s)}$ de $\Delta _{j}$ et $y$ dans ${(t,u)}$ ; ${r\leqq x\leqq s\leqq t\leqq y\leqq u}$. Si $x$ (ou $y$) est point de discontinuité de ${\alpha (x)}$, pour $j$ assez grand $r$ et $s$ seront confondus avec $x$ (ou $t$ et $u$ avec $y$) ; de sorte que nous ne supposerons ${s-r}$ (ou ${u-t}$) différent de zéro que si $x$ (ou $y$) est point de continuité de ${\alpha (x)}$. Alors, remplaçons la contribution de ${(r,s)}$ dans $\sigma _{j}$ par ${f(x)\left[p(s)-p(r)\right]}$ ; comme $f(x)$ diffère de la borne supérieure de $f$ dans ${(r,s)}$ d’aussi peu que l’on veut quand $j$ est pris suffisamment grand, — à cause de la petitesse de ${(r,s)}$ et de la continuité de $f$ au point $x$, — on modifiera ainsi $\sigma _{j}$ d’aussi peu que l’on voudra. Faisons cela pour chaque point de division de $\mathrm {D} _{i}$, nous aurons un nombre ${(\sigma _{j})}$ différent de $\sigma _{j}$ de moins de $\varepsilon$. Si, entre $s$ et $t$ les points de $\Delta _{j}$ sont $z_{1}$, $z_{2}$, … nous pouvons dire que la contribution de ${(x,y)}$ dans ${(\sigma _{j})}$ est de la forme

${\begin{aligned}{\left[p(s)-p(x)\right]}f(x)&+\mathrm {L^{1}} \left[p(z_{1})-p(s)\right]\\&+\mathrm {L^{2}} \left[p(z_{2})-p(z_{1})\right]+\ldots +\left[p(y)-p(t)\right]f(y){\text{.}}\end{aligned}}$

Or $f(x)$, $\mathrm {L^{1}}$, $\mathrm {L} ^{2}$, …, $f(y)$ sont au plus égaux à la borne supérieure $\mathrm {L}$ de $f$ dans ${(x,y)}$ ; la somme précédente est donc au plus égale à

$\mathrm {L} \,\left[p(y)-p(x)\right]$.

c’est-à-dire à la contribution de ${(x,y)}$ dans $s_{i}$. Donc on a

$(\sigma _{j})\leqq s_{i}$.

et par suite

$\sigma _{j}\leqq s_{i}+\varepsilon$,

dès que $j$ est assez grand. Il en résulte que les $s_{i}$ et les $\sigma _{j}$ convergent vers une même limite.

Nous venons en somme de démontrer le théorème pour une fonction monotone et l’existence des limites

${\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[p(x)\right]$,${\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[p(x)\right]$,

${\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[n(x)\right]$,${\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[n(x)\right]$,

est prouvée.

En désignant par $\lim {\mathrm {S} }$ l’une quelconque des limites du nombre $\mathrm {S}$, nous pouvons donc écrire :

${\begin{aligned}&{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[p(x)\right]-{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[n(x)\right]\\\leqq \lim {\mathrm {S} }\leqq &{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[p(x)\right]-{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[n(x)\right]{\text{ ;}}\end{aligned}}$

ou

$\mathrm {D} \leqq \lim {\mathrm {S} }\leqq \mathrm {E}$.

La différence entre les membres extrêmes de ces inégalités est, d’après la façon même dont elle a été obtenue, la limite de

${\begin{aligned}&\left[\sum _{0}^{n}\mathrm {L} _{i}\,\delta _{i}p-\sum _{0}^{n}l_{i}\,\delta _{i}n\right]-\left[\sum _{0}^{n}l_{i}\,\delta _{i}p-\sum _{0}^{n}\mathrm {L} _{i}\,\delta _{i}n\right]\\&\quad =\sum _{0}^{n}(\mathrm {L} _{i}-l_{i})(\delta _{i}p-\delta _{i}n)=\sum _{0}^{n}\omega _{i}\,\delta _{i}v{\text{.}}\end{aligned}}$

Or, on a

${\overline {\mathrm {S} }}-{\underline {\mathrm {S} }}=\sum _{0}^{n}\mathrm {L} '_{i}\,\delta _{i}\alpha -\sum _{0}^{n}l'_{i}\,\delta _{i}\alpha =\sum _{0}^{n}(\mathrm {L} '_{i}-l'_{i})\delta _{i}\alpha =\sum _{0}^{n}\omega _{i}\,|\delta _{i}\alpha |$.

Comparons ces deux différences, on obtient

$0\leqq \sum _{0}^{n}\omega _{i}\,\delta _{i}v-\sum _{0}^{n}\omega _{i}\,|\delta _{i}\alpha |=\sum _{0}^{n}\omega _{i}\left[\delta _{i}v-|\delta _{i}\alpha |\right]$ ;

tous les $\omega _{i}$ sont au plus égaux à l’oscillation $\Omega$ de $f(x)$ dans ${(a,b)}$, les ${}\delta _{i}v-|\delta _{i}\alpha |$ sont positifs, donc cette quantité est au plus égale à

$\Omega \sum _{0}^{n}\left[\delta _{i}v-|\delta _{i}\alpha |\right]=\Omega \mathrm {V} -\Omega \sum _{0}^{n}|\delta _{i}\alpha |$.

Mais on sait (p. 61) que dans les conditions ici considérées ${\sum _{0}^{n}|\delta _{i}\alpha |}$ tend vers $\mathrm {V}$. De là résultent les relations suivantes :

$\mathrm {D} \leqq \lim {\overline {\mathrm {S} }}\leqq \mathrm {E}$ ;$\mathrm {D} \leqq \lim {\underline {\mathrm {S} }}\leqq \mathrm {E}$ ;

$\lim {\left({\overline {\mathrm {S} }}-{\underline {\mathrm {S} }}\right)}=\mathrm {E} -\mathrm {D}$ ;

donc on a

$\lim {\overline {\mathrm {S} }}=\mathrm {E}$,$\lim {\underline {\mathrm {S} }}=\mathrm {D}$.

Le théorème est démontré et l’on a pour les intégrales par excès et par défaut les expressions

${\begin{aligned}\mathrm {E} &={\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[\alpha (x)\right]={\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[p(x)\right]-{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[n(x)\right]{\text{,}}\\\mathrm {D} &={\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[\alpha (x)\right]={\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[p(x)\right]-{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[n(x)\right]{\text{.}}\end{aligned}}$

Pour que nos énoncés se réduisent exactement à ceux du Chapitre II quand on fait ${\alpha (x)\equiv x}$, convenons d’appeler oscillation moyenne de $f(x)$ dans ${(a,b)}$, prise par rapport à ${\alpha (x)}$, la limite du rapport

${\frac {\displaystyle \sum _{0}^{n}\omega _{i}\,\delta _{i}v}{\displaystyle \sum _{0}^{n}\delta _{i}v}}$,

c’est-à-dire le nombre

$\omega ={\frac {\mathrm {E} -\mathrm {D} }{\mathrm {V} }}$ ;

alors la condition nécessaire et suffisante pour que les sommes $\mathrm {S}$ tendent^[12] vers une limite déterminée, que nous appellerons l’intégrale de Stieltjès-Riemann de $f(x)$ prise par rapport à ${\alpha (x)}$, est que $f(x)$ ait une oscillation moyenne, prise par rapport à ${\alpha (x)}$, nulle dans l’intervalle considéré. Du fait que la convergence de ${\displaystyle \sum _{0}^{n}\omega _{i}\,\delta _{i}v}$ vers zéro est la condition d’intégrabilité, on déduit de suite, comme au Chapitre II, que la condition nécessaire et suffisante pour que $f(x)$ soit intégrable, au sens de Stieltjès-Riemann, par rapport à ${\alpha (x)}$, est que l’ensemble des points en lesquels $f(x)$ a une discontinuité au moins égale à $\varepsilon$, soit, quel que soit ${\varepsilon >0}$, un groupe intégrable par rapport à ${\alpha (x)}$. En entendant par groupe intégrable par rapport à ${\alpha (x)}$, tout ensemble de points qui peut être enfermé à l’intérieur^[13] d’intervalles en nombre fini fournissant une somme d’accroissements ${\textstyle \sum \delta v}$ de la variation totale aussi petite que l’on veut. Le mot intérieur est indispensable si ${\alpha (x)}$ est discontinue ; alors un ensemble réduit à un seul point $\mathrm {P}$ n’est pas toujours un groupe intégrable. En effet, si $\mathrm {P}$ est point de discontinuité de ${\alpha (x)}$, il n’existe pas d’intervalle contenant $\mathrm {P}$ à son intérieur et pour lequel ${\delta v}$ soit inférieur à ${v(\mathrm {P} +0)-v(\mathrm {P} -0)}$. Ainsi les groupes intégrables par rapport à ${\alpha (x)}$ sont formés de points de continuité de ${\alpha (x)}$ ; une fonction $f(x)$ ne peut être intégrable, au sens de Stieltjès-Riemann, par rapport à ${\alpha (x)}$ que si elle est continue en tous les points de discontinuité de ${\alpha (x)}$. Par contre une fonction peut avoir une intégrale de Stieltjès-Riemann et admettre cependant tous les points d’un intervalle pour points de discontinuité. Il suffit que cet intervalle soit un groupe intégrable par rapport à ${\alpha (x)}$, c’est-à-dire qu’il suffit que ${\alpha (x)}$ soit constante dans cet intervalle. On voit combien la nature des groupes intégrables varie quand varie ${\alpha (x)}$. En utilisant la théorie de la mesure qui va être développée, le lecteur démontrera facilement, comme au Chapitre II, que la condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonction ait une intégrale de Stieltjès-Riemann c’est que l’ensemble de ses points de discontinuité ait, par rapport à la fonction déterminante ${\alpha (x)}$, une mesure nulle. N’étudions pas plus longuement la définition primitive de l’intégrale de Stieltjès et, pour préparer une définition plus large de cette intégrale, définissons la mesure d’un ensemble, prise par rapport à une fonction ${\alpha (x)}$ à variation bornée. Nous convenons que la mesure de l’intervalle fermé ${(l,m)}$ est

$m_{\alpha (x)}\left[l\leqq x\leqq m\right]=\alpha (m+0)-\alpha (l-0)$,

que la mesure d’un point $x_{0}$ est

$m_{\alpha (x)}(x_{0})=\alpha (x_{0}+0)-\alpha (x_{0}-0)$ ;

de là on déduit la mesure d’un intervalle ouvert ou à demi ouvert en soustrayant de la mesure d’un intervalle fermé la mesure de l’un ou de l’autre ou de ses deux points extrêmes.

Il est évident que cette fonction d’intervalles est complètement additive ; il lui correspond donc (p. 167), une fonction d’ensemble complètement additive et définie en particulier pour tous les ensembles mesurables B. Nous allons compléter ce résultat.

Rappelons que les ensembles $\mathrm {E} _{x}$ pour lesquels nous avons défini la fonction ${{\mathcal {A}}_{\alpha (x)}(\mathrm {E} _{x})}$, que nous noterons ici ${m_{\alpha (x)}(\mathrm {E} _{x})}$, sont ceux qui sont transformés en ensembles ${\mathcal {E}}_{t}$ mesurables par rapport à $t$ grâce au changement de variable

$t=x+\mathrm {V} (x)$ ;

${\mathrm {V} (x)}$ désignant toujours la variation totale de ${\alpha (x)}$ de $a$ à $x$ ; ce changement de variable étant interprété comme il a été expliqué à la page 168.

Dire que ${\mathcal {E}}_{t}$ est mesurable, c’est dire qu’on peut l’enfermer dans un ensemble $e_{t}$ d’intervalles ouverts, et qu’on peut enfermer son complémentaire ${\mathcal {F}}_{t}$ dans un ensemble $f_{t}$ d’intervalles ouverts tels que la longueur des parties communes à $e_{t}$ et $f_{t}$ soit $\varepsilon$, aussi petit que l’on veut. À $e_{t}$ et $f_{t}$ correspondent des ensembles $e_{x}$ et $f_{x}$ d’intervalles enfermant $\mathrm {E} _{x}$ et son complémentaire $\mathrm {F} _{x}$, si l’on a eu soin de choisir les intervalles constituant $e_{t}$ et $f_{t}$ de façon qu’aucun d’eux n’ait une extrémité à l’intérieur d’un intervalle ${(t_{1},t_{2})}$ correspondant à un point singulier de