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CHAPITRE XI.

seraient toutes deux constantes, la dérivée serait indéterminée ; quelle que soit ${\varphi (x)}$, on pourrait la dire égale à $f(x)$.

C’est encore par le procédé des chaînes d’intervalles que nous allons étudier ce problème ; mais il nous faudra opérer avec précautions, tout d’abord parce que ${\mathrm {F} (x)}$ n’est pas continue. Faisons tendre, en effet, $h$ vers zéro par valeurs positives dans la formule de définition de la dérivée, nous voyons que ${\mathrm {F} (x+0)}$ existe et que l’on a

${\frac {\mathrm {F} (x+0)-\mathrm {F} (x)}{\alpha (x+0)-\alpha (x)}}=f(x)$.

Cette formule et la formule analogue pour ${x-0}$ nous font connaître les points de discontinuité et les sauts de ${\mathrm {F} (x)}$.

À cause de cette discontinuité si $a$, $x_{1}$, $x_{2}$, …, sont les points de division de la chaîne, nous utiliserons la formule

${\begin{aligned}\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (a)&=\left[\mathrm {F} (x_{1}-0)-\mathrm {F} (a)\right]+\ldots \\&\quad +\textstyle \sum \left[\mathrm {F} (x_{i+1}-0)-\mathrm {F} (x_{i}-0)\right]+\ldots \\&\quad +\left[\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (b-0)\right]{\text{ ;}}\end{aligned}}$

dans cette formule, la somme $\textstyle \sum$ doit être étendue à tous les indices $i$ des points de la chaîne, finis ou transfinis, et elle doit être calculée en tenant compte de l’ordre de succession de ces indices. Pour démontrer que, dans ces conditions, la formule est exacte, il suffit de prouver que l’on a, pour tout indice $\mathrm {I}$,

${\begin{aligned}\mathrm {F} (x_{\mathrm {I} }-0)-\mathrm {F} (a)&=\left[\mathrm {F} (x_{\mathrm {I} }-0)-\mathrm {F} (a)\right]\\&\quad +\sum ^{i<\mathrm {I} }\left[\mathrm {F} (x_{i+1}-0)-\mathrm {F} (x_{i}-0)\right]{\text{.}}\end{aligned}}$

Cette formule est évidemment vraie pour ${\mathrm {I} +1}$ si elle est vraie pour $\mathrm {I}$ ; d’autre part, elle est vraie pour un indice $\mathrm {I}$, nombre transfini de seconde espèce si elle est vraie pour ${\mathrm {I} _{0}<\mathrm {I} }$, car pour $\mathrm {I} _{0}$ tendant vers $\mathrm {I}$ en croissant ${\mathrm {F} (x_{\mathrm {I} _{0}}-0)}$ tend vers ${\mathrm {F} (x_{\mathrm {I} }-0)}$. En d’autres termes, que $\mathrm {I}$ soit de première ou de seconde espèce, la formule est vraie pour $\mathrm {I}$ parce qu’elle est vraie pour les indices plus petits ; la formule est générale.

Nous prendrons les intervalles de la chaîne de manière que l’on ait

$\left\vert {\frac {\mathrm {F} (x_{i+1}-0)-\mathrm {F} (x_{i}-0)}{\alpha (x_{i+1}-0)-\alpha (x_{i}-0)}}-f(x_{i})\right\vert <\varepsilon$,