Dire que est la dérivée de , c’est-à-dire que l’on a
si l’on traduit exactement les considérations du précédent paragraphe ; mais il est évident qu’alors ne serait déterminée en aucun point puisque et interviennent en fait seuls[1]. Exigeons donc que l’on ait
pour dire que admet pour dérivée. Dans la recherche de la limite du second membre, il ne sera tenu compte que des nombres pour lesquels le second membre a une valeur déterminée, finie ou non. En un point intérieur à un intervalle dans lequel et
- ↑ Ceci est tout naturel, car n’intervient que pour définir la fonction et que est définie par une fonction de domaine ; or, à et , correspondent des fonctions et pour lesquelles
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sont déterminés à une constante additive près, tandis que et ne le sont pas.
Stieltjès avait déjà remarqué qu’à une distribution donnée de masses sur , c’est-à-dire à une fonction , ne correspond pas une fonction unique. Lorsque est donnée directement, tout point de discontinuité de correspond à la concentration d’une masse au point . Stieltjès imagine que cette concentration est faite en deux points géométriquement confondus en ; le premier, portant la masse , appartient à ; le second, de masse , appartient à .
Cela revient à considérer les symboles , comme des nombres au même titre que les symboles , tous ces symboles étant susceptibles d’être classés par ordre de grandeur, à considérer comme un intervalle les ensembles de nombres , et étant deux nombres différents, , et à prendre pour une fonction de tels intervalles. Les intervalles seraient alors de neuf catégories différentes suivant que leur origine et leur extrémité seraient des symboles , ou ; il y aurait trois espèces d’intervalles nuls,
,,.Ces conventions dispenseraient des précautions que nous avons dû prendre dans la division d’un intervalle en plusieurs autres (p. 152) ; dans une telle division devrait figurer une fois et une seule tout intervalle nul des formes
et.