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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

ou tout au moins diffère aussi peu que l’on veut de ce second membre, $\varepsilon$ désignant un nombre très petit positif choisi de manière que pour ${\mathrm {V} \left[x(v_{1}+0)+\varepsilon \right]}$, la valeur de ${\mathcal {F}}$ résulte de la première partie de la définition de ${{\mathcal {F}}(v)}$.

Or ces deux derniers rapports rentrent dans la catégorie de ceux étudiés au début, donc les plus grande et plus petite limites de ces rapports sont toujours comprises entre ${+f(x_{0})}$ et ${-f(x_{0})}$ et ils tendent presque partout vers une limite déterminée

$f(x_{0}).{'\!\mathrm {A} (v_{0})}=f[x(v_{0})].{'\!\mathrm {A} (v_{0})}$,

donc :

La fonction ${{\mathcal {F}}(v)}$, sauf peut-être aux points de l’ensemble dénombrable $\mathrm {D}$, tous ses nombres dérivés finis, et par suite ${{\mathcal {F}}(v)}$ est une totale indéfinie ;

La fonction ${{\mathcal {F}}(v)}$ a presque partout une dérivée déterminée et finie égale à ${f[x(v)].{'\!\mathrm {A} (v)}}$, donc ${{\mathcal {F}}(v)}$ est la totale indéfinie

${\mathcal {F}}(v)={\text{const.}}+\mathrm {T} _{0}^{v}f[x(v)].{'\!\mathrm {A} (v)}$ ;

d’où il résulte que

$\mathrm {F} (x)={\text{const.}}+\mathrm {T} _{a}^{x}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]$.

Ainsi, la recherche d’une fonction ${\mathrm {F} (x)}$, dont on connaît la dérivée finie $f(x)$ prise par rapport à une fonction donnée ${\alpha (x)}$ à variation bornée, peut toujours être effectuée par la totalisation indéfinie de $f(x)$ par rapport à ${\alpha (x)}$.

Ce résultat généralise exactement celui de M. Denjoy relatif au cas ${\alpha (x)\equiv x}$ ; il serait très intéressant de reprendre pas à pas les raisonnements qui nous ont servis dans ce cas particulier et de les étendre au cas général. Le lecteur ne rencontrera aucune difficulté particulière dans cette étude ; il pourra aussi montrer que la méthode développée aux pages 214 et suivantes, et qui permet la résolution du problème des fonctions primitives sans faire appel à une notion d’intégrale, s’applique encore à toute fonction ${\alpha (x)}$ à variation bornée. Il pourra examiner aussi le problème des fonctions primitives des nombres dérivés auquel la méthode de changement de variable utilisée ici ne semble pas permettre de donner une solution. Nous n’examinerons pas cette généralisation du problème des fonctions primitives. Mais il en est d’autres, bien plus