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CHAPITRE XI.
dans lesquelles on ne donnera à
que des valeurs de discontinuité de
.
Étudions ce que donne la dérivation de
en un point n’appartenant pas à
. Dans un intervalle
la fonction
est formée par deux fonctions linéaires de pentes
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {F} (x_{0})-\mathrm {F} (x_{0}-0)}{\mathrm {V} (x_{0})-\mathrm {V} (x_{0}-0)}}&={\frac {\mathrm {F} (x_{0})-\mathrm {F} (x_{0}-0)}{\alpha (x_{0})-\alpha (x_{0}-0)}}\,{\frac {\alpha (x_{0})-\alpha (x_{0}-0)}{\mathrm {V} (x_{0})-\mathrm {V} (x_{0}-0)}}\\&=f(x_{0}).{'\!\mathrm {A} (v)}{\text{,}}\\[0.75ex]{\frac {\mathrm {F} (x_{0}+0)-\mathrm {F} (x_{0})}{\mathrm {V} (x_{0}+0)-\mathrm {V} (x_{0})}}&={\frac {\mathrm {F} (x_{0}+0)-\mathrm {F} (x_{0})}{\alpha (x_{0}+0)-\alpha (x_{0})}}\,{\frac {\alpha (x_{0}+0)-\alpha (x_{0})}{\mathrm {V} (x_{0}+0)-\mathrm {V} (x_{0})}}\\&=f(x_{0}).{'\!\mathrm {A} (v)}{\text{,}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b29e30e20b4e8086c95135c6668cdbfbc956ddc)
dans
et
. Sauf en
la dérivée de
existe et peut se noter
, en utilisant la fonction
de la page 259.
Tout point
n’appartenant pas à
et non situé dans les divers intervalles
correspond à une valeur unique
par la formule
, et
n’est pas une valeur de discontinuité de
. Si l’on considère une valeur
tendant vers
, le nombre
tend alors vers
. Le nombre
est égal à
si ce nombre
résulte de la première partie de la définition de
. Dans ce cas on a
![{\displaystyle {\frac {{\mathcal {F}}(v_{1})-{\mathcal {F}}(v_{0})}{v_{1}-v_{0}}}={\frac {\mathrm {F} (x_{1})-\mathrm {F} (x_{0})}{\alpha (x_{1})-\alpha (x_{0})}}\,{\frac {\alpha (x_{1})-\alpha (x_{0})}{v_{1}-v_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b87025dcb41780df17d775b022aef190e7ff4f7)
,
et quand
tend vers zéro le premier rapport tend vers
, le second reste compris entre −1 et +1 et tend presque partout vers
.
Si la valeur de
résulte de la seconde partie de la définition de
c’est que
est l’abscisse d’un point singulier de
et que
est compris dans
. Supposons, par exemple, que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {V} \left[x(v_{1})\right]<v_{1}\leqq \mathrm {V} \left[x(v_{1})+0\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ee5ba109a1549703407dbb4816e7a29b8cce7fb)
;
Dans cet intervalle
est linéaire et le rapport
est compris entre
et
![{\displaystyle {\frac {{\mathcal {F}}\left\{\mathrm {V} \left[x(v_{1})+0\right]+\varepsilon \right\}-{\mathcal {F}}(v_{0})}{\mathrm {V} \left[x(v_{1})+0\right]+\varepsilon -v_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f403ca30a6c87276b2814692693c1bd9fbdc4d4e)
,