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NOTE.

chaque somme partielle

$\mathrm {S} _{\mu }=\sum _{\lambda =1}^{\lambda <\mu }u_{\lambda }$

existe et est égale à la somme de la série obtenue $\mathrm {V} _{\mu }$ en barrant dans $\mathrm {V} _{\alpha }$ les termes qui ne figurent pas dans $\mathrm {S} _{\mu }$. Ceci a lieu à coup sûr pour ${\mu =1}$ ; si ceci n’avait pas lieu pour toute valeur de $\mu$, il y aurait une première valeur $\mu _{0}$ pour laquelle la proposition ne serait pas vraie. Or supposons que $\mu _{0}$ soit de première espèce ; on a alors

$\mathrm {S} _{\mu _{0}-1}=\mathrm {V} _{\mu _{0}-1}$

mais

$\mathrm {S} _{\mu _{0}}=\mathrm {S} _{\mu _{0}-1}+u_{\mu _{0}-1}$,$\mathrm {V} _{\mu _{0}}=\mathrm {V} _{\mu _{0}-1}+u_{\mu _{0}-1}$,

d’où

$\mathrm {S} _{\mu _{0}}=\mathrm {V} _{\mu _{0}}$,

ce qui est en contradiction avec la définition de $\mu _{0}$.

Supposons donc $\mu _{0}$ de seconde espèce. Alors pour ${\mu <\mu _{0}}$ on a

$\mathrm {S} _{\mu }=\mathrm {V} _{\mu }$ ;

d’ailleurs $\mathrm {V} _{\mu }$ est une série partielle déduite de $\mathrm {V} _{\mu _{0}}$ en y barrant des termes, et tout terme de $\mathrm {V} _{\mu _{0}}$ appartient à $\mathrm {V} _{\mu }$ dès que ${\mu <\mu _{0}}$ est assez grand, donc si la suite simplement infinie

$\mu _{1}<\mu _{2}<\ldots <\mu _{0}$

définit $\mu _{0}$ comme premier nombre supérieur à tous les $\mu _{i}$, $\mathrm {V} _{\mu _{i}}$ tend vers $\mathrm {V} _{\mu }$ et par suite on a

$\mathrm {S} _{\mu _{0}}=\lim {\mathrm {S} _{\mu _{i}}}=\lim {\mathrm {V} _{\mu _{i}}}=\mathrm {V} _{\mu _{0}}$ ;

c’est la même contradiction que précédemment.

La démonstration du théorème nous montre que, quand une suite transfinie est supposée formée, nous pourrons raisonner sur elle, grâce au raisonnement par l’absurde, sans faire à nouveau appel, apparemment du moins, à un procédé de récurrence transfinie.

Mais, dans le cas des chaînes transfinies, on peut aller plus loin. Dire qu’il est absurde qu’il y ait un premier nombre transfini $\mu _{0}$ à partir duquel une propriété n’a pas lieu, c’est alors dire qu’il y a, parmi les intervalles ${(a,x_{\lambda })}$, un premier intervalle ${(a,x_{\mu _{0}})}$ pour lequel une certaine propriété n’a pas lieu.

Et si l’on a réussi à mettre cette propriété sous une forme telle qu’elle appartienne à ${(a,x)}$ dès qu’elle appartient à un ${(a,x_{\lambda })}$, avec ${x_{\lambda }>x}$, nous sommes ramenés à démontrer qu’une certaine propriété a lieu pour un intervalle ${(a,\mathrm {X} )}$ dès qu’elle a lieu pour tout ${(a,x)}$, avec ${x<\mathrm {X} }$. Nous n’avons plus à nous servir ni de la chaîne, ni de la récurrence transfinie, nous raisonnons sur le continu.

La première transformation de cette nature que l’on ait fait subir à une