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SUR LES NOMBRES TRANSFINIS.

démonstration où intervenait le transfini, est sans doute celle qui a permis de déduire le raisonnement de la page 112 d’un raisonnement de M. Borel que l’on peut résumer ainsi : Nous avons une infinité^[1] d’intervalles ${(a_{i},b_{i})}$ telle que chaque point de ${a\leqq x\leqq b}$ soit intérieur au sens strict à l’un d’eux au moins. Choisissons un intervalle ${(a_{i_{1}},b_{i_{1}})}$ contenant $a$ à son intérieur, un intervalle ${(a_{i_{2}},b_{i_{2}})}$ contenant $b_{i_{1}}$ à son intérieur, un intervalle ${(a_{i_{3}},b_{i_{3}})}$ contenant $b_{i_{2}}$, etc. Si l’on n’atteint pas ainsi $b$, il y a un point, appelons-le $b_{i_{\omega }}$, qui est la limite des points $b_{i}$. Choisissons un intervalle ${(a_{i_{\omega +1}},b_{i_{\omega +1}})}$ contenant $b_{i_{\omega }}$, etc. Il est clair qu’on définit ainsi, par les $b_{\lambda }$, une chaîne d’intervalles couvrant ${(a,b)}$. Or il est clair que ${(a,b_{i_{\omega }})}$ peut être couvert avec un nombre fini des intervalles ${(a_{i},b_{i})}$ ; qu’il en est de même de ${(a,b_{i_{\omega +1}})}$ puis que cet intervalle peut être couvert avec ${(a_{i_{\omega +1}},b_{i_{\omega +1}})}$ et certains, en nombres finis des ${(a_{i_{n}},b_{i_{n}})}$. En continuant ainsi transfiniment on voit que ${(a,b)}$ peut être couvert à l’aide d’un nombre fini d’intervalles ${(a_{i},b_{i})}$.

La transformation de ce raisonnement donne : L’intervalle ${(a,b)}$ peut être couvert à l’aide d’un nombre fini des ${(a_{i},b_{i})}$, sans quoi il y aurait une valeur $x$ telle que ${(a,x+h)}$ ne puisse être ainsi couvert alors que ${(a,x-h)}$ le pourrait être, si petit que soit $h$ positif. Or ceci est impossible ; car il existe un intervalle ${(a_{i_{0}},b_{i_{0}})}$ contenant $x$, et par suite, ${(a,b_{i_{0}})}$ peut être couvert par cet intervalle joint à ceux qui permettent de couvrir ${(a,a_{i_{0}})}$ ; l’existence de la valeur $x$ est impossible. C’est le raisonnement de la page 112.

L’examen de cette transformation de raisonnement met bien en évidence les avantages et inconvénients de l’une et l’autre forme : sous la deuxième forme il est rapide, d’aspect habituel, il permet de mieux apercevoir les généralisations possibles, les hypothèses restrictives que l’on peut supprimer ; mais il ne donne plus qu’un théorème d’existence alors que, sous la première forme, il fournit un procédé opératoire pour le choix des ${(a_{i},b_{i})}$, en nombre fini, propres à couvrir tout ${(a,b)}$.

M. Borel, dès le début, insistait sur le fait que son raisonnement fournissait un « procédé régulier » pour « déterminer effectivement » les ${(a_{i},b_{i})}$. Sans doute, on pourrait chicaner sur le mot effectivement ; faire observer qu’on ne saurait faire « effectivement » une opération qui comporte une infinité de stades^[2], mais, à ce compte, on ne déterminerait pas effectivement une fonction quand on en aurait trouvé un développement en série. On peut, certes, se refuser à employer pour ce cas le mot effectivement ; mais n’est-ce pas déjà beaucoup que d’avoir résolu un problème aussi bien

1. M. Borel suppose l’infinité dénombrable, mais ceci est inutile.
2. J’ajoute qu’il n’est à certains égards aucune opération que l’on sache toujours effectuer réellement. Calculer la valeur d’une fonction connue, de $\sin {x}$, par exemple, est une telle opération. Quand nous disons que $f(x)$ est donnée si $f(x)$ est connue quand $x$ est connu, nous ne donnons pas l’explication de ce qu’on doit entendre par une fonction donnée, nous faisons cette convention : quand on a dit que $f(x)$ est donnée, on raisonne comme si l’on pouvait calculer $f$ pour chaque valeur de $x$.