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LA DÉFINITION DE L’INTÉGRALE DONNÉE PAR RIEMANN.

J’ajoute qu’on vérifie immédiatement que

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{c}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x=0$.

IV. — Intégrales par défaut et par excès.

La définition qui vient de nous occuper a été obtenue en appliquant, à des fonctions discontinues, le procédé de calcul des intégrales de fonctions continues. Nous savons qu’il existe des fonctions bornées, les fonctions non intégrables, pour lesquelles ce procédé ne conduit pas à un nombre déterminé. Mais on peut cependant, à l’aide de ce procédé, attacher à chaque fonction bornée deux nombres parfaitement définis.

Nous avons vu (p. 25) que les sommes ${{\overline {\mathrm {S} }}=\textstyle \sum \delta _{i}\mathrm {L} _{i}}$, tendent vers une limite parfaitement déterminée quand les $\delta _{i}$ tendent vers zéro d’une manière quelconque, cette limite est l’un des deux nombres dont il s’agit ; on l’appelle l’intégrale par excès et on le représente par le symbole ${\overline {\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}}$, qui s’énonce : intégrale par excès de $a$ à $b$ de $f(x)$.

De la même manière, on peut démontrer l’existence d’une limite pour les sommes ${{\underline {\mathrm {S} }}=\textstyle \sum \delta _{i}l_{i}}$. D’ailleurs, en étudiant l’oscillation moyenne (p. 22), nous avons vu que $\textstyle \sum \delta _{i}\omega _{i}$ tend vers une limite parfaitement déterminée ${(b-a)\omega }$ et comme l’on a

${\overline {\mathrm {S} }}-{\underline {\mathrm {S} }}=\sum \delta _{i}\omega _{i}$,

l’existence de la limite de ${\underline {\mathrm {S} }}$ est démontrée^[1]. C’est l’intégrale par défaut qu’on note ${\underline {\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}}$.

Ces deux nombres ont été définis pour la première fois, d’une façon précise, par Darboux^[2].

Pour compléter leurs définitions, données seulement pour ${b>a}$,

1. On pourrait aussi déduire l’existence de cette limite de l’existence de l’intégrale par excès pour $-f$.
2. Annales de l’École Normale supérieure, 1875.