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LES FONCTIONS À VARIATION BORNÉE.

considérer $\mathrm {P}$ comme une courbe définie dans ${(a,b)}$ à l’aide de fonctions $\xi (t)$, $\eta (t)$, $\zeta (t)$ égales à $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ pour les valeurs $a$, $t_{1}$, $t_{2}$, …, $t_{p}$, $b$ de $t$.

Ceci posé, soient deux suites de polygones inscrits dans $\mathrm {C}$, $\mathrm {P} _{i}$ et $\Pi _{j}$, choisis tels que le maximum des différences ${t_{k}-t_{k-1}}$ tende vers zéro avec ${\frac {1}{i}}$ d’une part, avec ${\frac {1}{j}}$ d’autre part. La longueur d’un polygone est, par définition, la somme des longueurs de ses côtés ; nous allons comparer la longueur $s_{i}$ de $\mathrm {P} _{i}$ à celle $\sigma _{j}$ de $\Pi _{j}$.

Supposons que deux sommets consécutifs $m_{1}$, $m_{2}$ de $\mathrm {P} _{i}$ correspondent à ${t=\theta _{1}}$ et ${t=\theta _{2}}$. Les points $\mu _{1}$, $\mu _{2}$ de $\Pi _{j}$ qui correspondent à ces valeurs de $t$ tendent, quand $j$ augmente indéfiniment, vers $m_{1}$, $m_{2}$ ; la plus petite des limites, pour $j$ infini, de la longueur de l’arc ${\mu _{1}\mu _{2}}$ est donc au moins égale à la longueur du côté ${m_{1}m_{2}}$. Mais ceci étant vrai pour chaque côté, la plus petite limite des $\sigma _{j}$ est au moins égale à $s_{i}$. Et puisque l’on pourrait permuter $\mathrm {P} _{i}$ et $\Pi _{j}$, les longueurs $s_{i}$ et $\sigma _{j}$ tendent vers la même limite quand $i$ et $j$ augmentent indéfiniment, et elles sont toujours inférieures à leur limite.

Lorsque le maximum de la longueur des côtés d’un polygone inscrit dans une courbe tend vers zéro, la longueur de ce polygone tend vers la limite supérieure des longueurs des polygones inscrits dans la courbe. C’est cette limite que l’on appelle la longueur de la courbe.

Une courbe est dite rectifiable si elle est de longueur finie. L’étude des courbes rectifiables a été entreprise par Ludwig Scheeffer^[1], puis continuée par Jordan^[2] à qui l’on doit le résultat suivant :

Pour qu’une courbe soit rectifiable, il faut et il suffit que les fonctions $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ qui la définissent soient à variation bornée.

En effet, un côté quelconque d’un polygone inscrit dans la courbe est de longueur au moins égale à chacune des projec-

1. Allgemeine Untersuchungen über Rectification der Curven (Acta mathematica, t. V).
2. Cours d’Analyse, t. I, 2^e édition. Scheeffer et Jordan ont aussi examiné le cas où $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ ne sont pas continues.