Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/97

81

LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES.

Mais, dans un intervalle ${(\alpha ,\beta )}$ contigu à $\mathrm {Z}$, on a évidemment

$f_{1}(x)-f_{1}(\alpha )\geqq (x-\alpha )^{k}$ ;

donc, quel que soit $x$ supérieur à la valeur $x_{0}$ faisant partie de $\mathrm {Z}$, on a

$f_{1}(x)-f_{1}(x_{0})\geqq (x-x_{0})^{k}$.

Et par suite $f_{1}(x)$ a, au point $x_{0}$, une dérivée à droite au moins égale à celle de ${(x-x_{0})^{k}}$ en ce point, donc égale à $+\infty$.

On prouverait de même que $f_{1}(x)$ a une dérivée à gauche égale à $+\infty$ aux points de $\mathrm {Z}$. Donc $f_{1}(x)$ remplit bien les conditions imposées ; les fonctions $f_{1}(x)$ et $f_{2}(x)$ nous montrent qu’une fonction n’est pas déterminée à une constante additive près par la connaissance de sa dérivée en tout point, quand celle-ci n’est pas partout finie^[1].

Les fonctions qu’on rencontre en Analyse, et qui ne sont pas bornées, prennent en général une valeur infinie en certains points ; on peut encore dire qu’il est rare qu’on sache prouver qu’une fonction est toujours finie sans démontrer, par cela même, qu’elle est bornée. Aussi l’étude des problèmes C et C′ ne présentait guère d’intérêt que dans le cas où la fonction donnée, comme dérivée ou comme nombre dérivé, est bornée si l’on ne savait pas délimiter des cas où les fonctions solutions des problèmes C et C′ restent déterminées, à une constante additive près, bien que la fonction donnée ne soit pas partout finie. C’est ce que nous allons faire :

Si le nombre fini ${\Lambda _{d}f(x)}$ est donné pour toute valeur de la variable, sauf pour les points d’un ensemble $\mathrm {E}$, la fonction continue $f(x)$ est déterminée à une constante additive près dans tout intervalle ne contenant pas de points de $\mathrm {E}$ à son intérieur ; donc il en est aussi de même dans tout intervalle si $\mathrm {E}$ est réductible, comme on le voit en reprenant les raisonnements employés au Chapitre I à l’occasion des recherches de Cauchy et Dirichlet.

1. L’exemple précédent est dû à M. Hans Hahn (Mon. Math. Phys., 1905). Il a construit en réponse à une question que j’avais posée dans la première édition ce livre.

   Depuis, d’autres exemples ont été donnés, en particulier par M. Denjoy. Voir aussi M. Ruziewicz (Fund. Mat., t. I).