remplir la loix des homogenes, je puis reduire l'equation tangentielle aux quadratures ; par exemple si les accroissemens ou elemens dx à dy estoient comme yy à yy + bxy + cxx, le probleme se peut resoudre aux quadratures. Car b et c n'y font point la fonction de droites ou d'homogenes avec x et y, mais de nombres ou raisons seulement. Et souvent les equations differentielles, qui n'ont pas cette condition s'y peuvent reduire par des transformations. Je considere cette methode comme le premier degré de ce que je souhaitterois, Et si je pouvois proceder de mème dans les autres equations differentielles, je n'aurois plus besoin de ces autres voyes plus prolixes, que j'avois projettées.
Cependant comme je ne sçay pas quand j'en viendray à bout, j'ay pensé à une invention subsidiaire pour l'usage qui est aussi generale qu'on en puisse souhaiter, pour donner des equations pour toutes lignes differentiellement exprimées, soit que les differences soyent du premier ou de quelque autre degré, car je ne considere les problemes de la converse des langentes que comme le premier degré seulement de cette analyse des sommes et des differences. Ce moyen subsidiaire consiste dans une series infinie qu'on peut continuer aisement aussi loin qu'il est necessaire pour la practique, et dont on peut connoistre la progression à l'infini pour l'exactitude de la theorie, Ainsi on peut dire que cela est achevé dans son genre. J'appliqueray cette methode à vostre Probleme, c'est à dire la descriplion de la Ligne dont l'Equation diffcrenlielle est aax dx + 2y^3dy = 2aax dy - aay dx (1) ou bien (supposant a = 1) 2^3 - 2x + ydx:dy + xdx:dy = 0 (2) (dx:dy me signifie dx divisé par dy ou la raison de dx à dy). Supposons x = y + ey^3 + fy^5 + gy^7 + hy^9 + iy^11 + ky^13 + ly^15 + my^17 etc (8) pour abreger, car j'ay trouvé qu'on peut icy omettre utilement les termes pairs. Cela posé dx:dy sera = 1 + 3ey^2 + 5fy^4 + 7gy^6 + etc. (4) et par le moyen des cquations (3) et (4), expliquant l'equation (2) nous aurons l'equation
