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Je vous avés écrit il y a quelques semaines pour lever les scrupules que vostre honnesteté vous avoit naistre sur la publication de vos belles decouvertes et meditations Geometriques. Et j'avois adjouté quelque essay de mes methodes de l'inverse des Tangentes. Cet essay donnoit une solution generale de la formule dy:dx = v + wy de quelque maniere que les grandeurs v et w soyent données par x, et je voy qu'on le peut pousser plus avant. Cependant comme nous ne sommes peut estre pas encor tout a fait estat de donner tousjours des solulions si generales, il sera bon de donner la Methode de determiner, s'il est possible que la ligne demandée est ordinaire ou Algebraique ; et c'est à quoy cette methode nous mene tousjours par une voye asseurée. Mais comme je ne suis pas à present en estat de travailler et ne trouve personne dans ces pays qui m'y puisse aider, j'ay cru qu'on en trouveroit plus aisement à Paris et que vous pourriés et voudriés bien me procurer quelque assistance, puisqu'il y a apparemment chez vous des gens capables de calculer qui ne le refuseroient pas. Comme en effect je ne ferois aucune difficulté de payer leur peine, c'est ce que j'ay deja insinué dans ma precedente.
Il s'agit donc generalement de reduire les equations differentielles aux ordinaires, si cela est possible. Commençons par les plus simples, ou il s'agit des quadratures, c'est à dire ou l'une des differentielles se trouve sans sa grandeur absolue. Et au lieu de dy:dx mettons maintenant e:a, or l'affaire est vuidée lorsqu'il y a e + 11 = 0 supposé que le nombre 11 signifie une formule rationelle donnée par x. J'appelle rationelles, ou l'indeterminée x n'entre pas dans le vinculum. Allons maintenant au cas suivant ou il y a ce + 11e + 12 = 0 (1). Il s'agit de trouver yy + 21y + 22 = 0 (2) car il est aisé de demonstrer qu'il est impossible que la grandeur y puisse monter plus haut que celle d'e. Je me sers des nombres au lieu des lettres parce que la note dextre me fait observer la loy des homogenes et la sinistre pour discerner les quantités qui sont icy données ou cherchées. On peut pourtant se servir des lettres lorsque le nombre n'est pas fort grand, comme en effect il ne l'est pas
