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partagera le triangle $ABC$ en deux triangles rectangles, dans chacun desquels la somme des trois angles devra encore être égale à $\pi ,$ sans quoi elle serait dans l’un de ces deux triangles plus grande que $\pi ,$ ou dans le triangle total plus petite que $\pi .$ On obtiendra donc ainsi un triangle rectangle, dont les côtés de l’angle droit seront $p$ et $q,$ et au moyen duquel on pourra former un quadrilatère dont les côtés opposés seront égaux entre eux, et dont les côtés adjacents $p$ et $q$ (fig. 6) seront perpendiculaires l’un à l’autre. Par la répétition de ce quadrilatère, on pourra en former un pareil dont les côtés seront $np$ et $q,$
Fig. 6 et enfin un autre $ABCD,$ ayant ses côtés perpendiculaires entre eux, et dans lequel $AB=np,$ $AD=mq,$ $DC=np,$ $BC=mq,$ $m$ et $n$ étant des nombres entiers quelconques. Ce quadrilatère sera divisé par la diagonale $BD$ en deux triangles rectangles égaux, $BAD,$ $BCD,$ dans chacun desquels la somme des trois angles est égale à $\pi .$ Or, on peut prendre les nombres $n$ et $m$ assez grands pour que le triangle rectangle $ABC$ (fig. 7), dont les côtés de l’angle droit sont $AB=np,$ $BC=mq,$ renferme dans son intérieur tout autre triangle rectangle donné $BDE,$ lorsqu’on aura fait coïncider leurs angles droits. En menant la ligne $DC,$ on obtient ainsi des triangles rectangles ayant deux à deux un côté commun. Le triangle $ABC$ est formé par la réunion des deux triangles $ACD,DCB,$ dans chacun desquels la somme des trois angles ne peut surpasser $\pi \,;$ elle doit donc être, pour chacun, égale à $\pi ,$ sans quoi elle ne serait pas égale à $\pi$ dans le triangle total. De même, le triangle $BDC$ se compose des deux triangles $DEC,$ $DBE,$ d’où il s’ensuit que dans $DBE$ la somme des trois angles doit être égale à $\pi .$ Cela doit donc avoir

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