Je vais vous importuner encore une fois avec la théorie des parallèles.
Prolongeons indéfiniment les côtés du triangle rectiligne, et prenons un rayon assez grand pour que les rapports deviennent moindres qu’une quantité donnée quelconque. Avec ce rayon, décrivons du centre le demi-cercle Les côtés pouvant être considérés comme s’évanouissant par rapport à ce demi-cercle, et, par suite, les points comme coïncidant avec ce demi-cercle sera la mesure des trois angles du triangle, dont la somme différera alors de aussi peu que l’on voudra.
Fig. 3
Il me semble que, si l’on ne rejette pas la notion de la grandeur indéfiniment croissante, cette démonstration prouve très simplement que, dans tout triangle rectiligne fini, la somme des angles est égale à ou plutôt que la constante qui, si la géométrie d’Euclide n’était pas vraie, devrait être ajoutée à la somme des angles pour compléter est moindre que toute grandeur donnée ; et comme on peut répéter la même démonstration pour un triangle quelconque, cette constante ne peut pas non plus dépendre de la grandeur du triangle.
