Page:Lobatchevski - La Théorie des parallèles, 1980.djvu/8

Etc.

Puis il établit indépendamment de l’axiome d’Euclide, les principales propositions de la géométrie de la sphère. Enfin, il pose les bases de la trigonométrie, tant sphérique que rectiligne.

Dans la Géométrie imaginaire, où il n’existe pas de figures semblables, les fonctions angulaires, c’est-à-dire le sinus, le cosinus, etc., ne peuvent naturellement se définir comme les rapports des côtés d’un triangle rectangle, ou des coordonnées d’un cercle. Il faut supposer leurs propriétés déduites de leur définition purement analytique exprimée par les équations différentielles

$\mathrm {d} \sin x=\cos x\,\mathrm {d} x,\qquad \mathrm {d} \cos x=-\sin x\,\mathrm {d} x,$

ou par les formules qui en sont la conséquence^[1],

$\sin x={\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{1.2.3}}+\dots ={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}-e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},$

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{1.2}}+{\frac {x^{4}}{1.2.3.4}}-\dots ={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}+e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2}}.$

On en conclut analytiquement l’existence d’une période commune à ces fonctions, et que l’on désigne par $2\pi .$ Si la valeur de la variable $x$ est représentée par l’angle que fait une droite mobile avec une droite fixe, lorsque l’angle croîtra de $2\pi ,$ la droite mobile reprendra sa position primitive ; lorsqu’il croîtra de $\pi ,$ la droite se placera sur le prolongement de cette position ; lorsqu’il croîtra de ${\frac {\pi }{2}},$ la droite prendra la direction perpendiculaire. On peut, d’après cela, calculer les angles au moyen de leurs sinus et de leurs cosinus, sans introduire aucune idée de rapports de droites, ces fonctions ne pouvant représenter de tels rapports qu’autant que l’on établit la théorie de la similitude des figures, laquelle se fonde sur l’axiome d’Euclide, et peut même être formulée comme un axiome équivalent à ce dernier.

1. Voy. Gudermann, Theorie der Potenzial oder Cyklisch-hyperbolischen Functionen.

7