et il en est de même de la partie multipliée par
Quant à celle qui renferme
elle devient
![{\displaystyle \lambda \sum \left[\Delta \,x\,\delta {\frac {dL}{dx}}-\delta \,x\,\Delta {\frac {dL}{dx}}+\Delta \,y\,\delta {\frac {dL}{dy}}-\delta \,y\,\Delta {\frac {dL}{dy}}+\Delta \,z\,\delta {\frac {dL}{dz}}-\delta \,z\,\Delta {\frac {dL}{dz}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/850818aac7e0c1f9f76e62c2abb9eb7c51ed07d1)
Pour prouver que cette somme est nulle, soit
une coordonnée quelconque de l’un des mobiles ;
renfermera le terme
et
le terme
donc cette somme contiendra le terme
et comme elle est symétrique par rapport à toutes les coordonnées, elle contiendra aussi le terme
égal et de signe contraire au précédent : elle se décomposera donc en couples de termes égaux et de signes contraires, et par conséquent elle se réduira à zéro.
Le même raisonnement s’applique à la partie du second membre de notre équation, qui renferme la fonction
si donc on fait
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x',\qquad {\frac {dy}{dt}}=y',\qquad {\frac {dz}{dt}}=z',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5354927922d5d1dd7e6865ff3d0e5c4de07bfa6b)
cette équation se réduira à
![{\displaystyle \delta \,m\left[\Delta \,x\,\delta {\frac {dx'}{dt}}-\delta \,x\,\Delta {\frac {dx'}{dt}}+\Delta \,y\,\delta {\frac {dy'}{dt}}-\delta \,y\,\Delta {\frac {dy'}{dt}}+\Delta \,z\,\delta {\frac {dz'}{dt}}-\delta \,z\,\Delta {\frac {dz'}{dt}}\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87f358c160e9fe000c1c1db538ffe10bcef6df1)
Son premier membre est une différentielle immédiate par