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et il en est de même de la partie multipliée par $\mathrm {A} \lambda .$ Quant à celle qui renferme $\lambda ,$ elle devient

$\lambda \sum \left[\Delta \,x\,\delta {\frac {dL}{dx}}-\delta \,x\,\Delta {\frac {dL}{dx}}+\Delta \,y\,\delta {\frac {dL}{dy}}-\delta \,y\,\Delta {\frac {dL}{dy}}+\Delta \,z\,\delta {\frac {dL}{dz}}-\delta \,z\,\Delta {\frac {dL}{dz}}\right].$

Pour prouver que cette somme est nulle, soit $u$ une coordonnée quelconque de l’un des mobiles ; $\delta {\frac {d\mathrm {L} }{dx}}$ renfermera le terme ${\frac {d^{2}\mathrm {L} }{du\,dx}}\delta \,u,$ et $\Delta {\frac {d\mathrm {L} }{dx}}$ le terme ${\frac {d^{2}\mathrm {L} }{du\,dx}}\Delta \,x\,;$ donc cette somme contiendra le terme ${\frac {d^{2}\mathrm {L} }{du\,dx}}\left(\Delta \,x\,\delta \,u-\Delta \,u\,\delta \,x\right),$ et comme elle est symétrique par rapport à toutes les coordonnées, elle contiendra aussi le terme ${\frac {d^{2}\mathrm {L} }{du\,dx}}\left(\Delta \,u\,\delta \,x-\Delta \,x\,\delta \,u\right),$ égal et de signe contraire au précédent : elle se décomposera donc en couples de termes égaux et de signes contraires, et par conséquent elle se réduira à zéro.

Le même raisonnement s’applique à la partie du second membre de notre équation, qui renferme la fonction $\mathrm {V} \,;$ si donc on fait

${\frac {dx}{dt}}=x',\qquad {\frac {dy}{dt}}=y',\qquad {\frac {dz}{dt}}=z',$

cette équation se réduira à

$\delta \,m\left[\Delta \,x\,\delta {\frac {dx'}{dt}}-\delta \,x\,\Delta {\frac {dx'}{dt}}+\Delta \,y\,\delta {\frac {dy'}{dt}}-\delta \,y\,\Delta {\frac {dy'}{dt}}+\Delta \,z\,\delta {\frac {dz'}{dt}}-\delta \,z\,\Delta {\frac {dz'}{dt}}\right]=0.$

Son premier membre est une différentielle immédiate par