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où les notations telles que $({\overline {a,b}}),$ représentent les mêmes quantités que dans le n^o 3, et sont des fonctions de $a,\,b,\,c,$ etc., indépendantes du temps.

Ces formules sont dues à M. Lagrange, qui les a données dans son premier Mémoire sur la Théorie générale de la variation des constantes arbitraires^[1]. Elles coïncident avec les précédentes, lorsque les mobiles sont libres et indépendans entre eux ; mais, dans le cas général, elles en different par la forme des coëfficiens des différentielles $da,\,db,\,dc,$ etc., qui sont exprimés dans les unes, au moyen des variables, indépendantes, et dans les autres, au moyen des coordonnées des mobiles. Il existe d’autres formules, inverses de celles de M. Lagrange, qui donnent directement les différentielles $da,\,db,\,dc,$ etc., au moyen des quantités $(a),\,(b),\,(c),$ etc., et que l’on obtient de la manière suivante.

(9) En ayant égard aux nouvelles forces, ajoutées à celles qui agissaient primitivement sur les mobiles, les équations du mouvement du n^o 3 deviendront

$\left.{\begin{alignedat}{3}{\frac {du}{dt}}&-{\frac {d\mathrm {T} }{d\varphi }}&&+{\frac {d\mathrm {V} }{d\varphi }}&&=(\varphi ),\\{\frac {dv}{dt}}&-{\frac {d\mathrm {T} }{d\psi }}&&+{\frac {d\mathrm {V} }{d\psi }}&&=(\psi ),\\{\frac {ds}{dt}}&-{\frac {d\mathrm {T} }{d\theta }}&&+{\frac {d\mathrm {V} }{d\theta }}&&=(\theta ),\end{alignedat}}\right\}$(7)

On désigne ici par $(\varphi ),\,(\psi ),\,(\theta ),$ les coefficiens de $\Delta \,\varphi ,\,\Delta \,\psi ,\,\Delta \,\theta ,$ etc., dans la quantité $\nabla$ du n^o 6, quand on y exprime les coordonnées des mobiles en fonctions des

1. Mémoires de la I^re Classe de l’Institut, année 1809.