S. III.
Expressions relatives à des constantes particulières.
(13) Représentons par
![{\displaystyle a=\mathrm {P} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a9bba13def0d9ab649b169a7a7a490fa7ed8cf8)
une intégrale première des équations du mouvement du no 1, résolue par rapport à la constante arbitraire
et telle que
soit une fonction donnée du temps
des coordonnées orthogonales des mobiles, et de leurs différentielles premières. En différenciant cette équation, désignant par
les quantités
et substituant pour
leurs valeurs tirées des équations
du no 1, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}&+\sum \left({\frac {d\mathrm {P} }{dx}}x'+{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}y'+{\frac {d\mathrm {P} }{dz}}z'\right)-\sum {\frac {1}{m}}\left({\frac {d\mathrm {V} }{dx}}{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dy}}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dz}}{\frac {d\mathrm {P} }{dz}}\right)\\&+\lambda \sum {\frac {1}{m}}\left({\frac {d\mathrm {L} }{dx}}{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {L} }{dy}}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {L} }{dz}}{\frac {d\mathrm {P} }{dz}}\right)\\&+\mu \sum {\frac {1}{m}}\left({\frac {d\mathrm {M} }{dx}}{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {M} }{dy}}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {M} }{dz}}{\frac {d\mathrm {P} }{dz}}\right)+{\text{etc}}.=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/966a6caad467d874a84ab7454b6b8bdbc2d37e71)
où la caractéristique
indique toujours une somme relative à tous les points du système. Or, si l’intégrale
est fournie par l’un des principes généraux de la conservation des forces vives, des aires, ou du mouvement du centre de gravité, il est facile de vérifier que, dans l’équation qui s’en déduit, chacun des termes multipliés par
etc., sera séparément nul ; ce qui est d’ailleurs évident, à priori, par la considération qu’une semblable intégrale satisferait encore aux équations du mouvement, lors même que les points du