C’est ce que nous allons faire successivement pour chacune des intégrales premières, résultantes des principes généraux de la mécanique.
(14) Considérons d’abord l’intégrale fournie par le principe des forces vives : en désignant par
la constante arbitraire qu’elle contient elle sera, comme on sait,
![{\displaystyle h=\mathrm {V} +{\frac {1}{2}}\sum {\frac {1}{2}}\left(x^{'2}+y^{'2}+z^{'2}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf49e76ee4566e49808653c5be3d7d25697b01fa)
on en déduit
![{\displaystyle {\frac {dh}{dx'}}=mx',\qquad {\frac {dh}{dy'}}=my',\qquad {\frac {dh}{dz'}}=mz'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85984c1c14a270765be03cbe3c8c7a6deab702a2)
mettant donc
à la place de
dans l’équation (8), on aura
![{\displaystyle dh=\sum \left[x'(x)+y'(y)+z'(z)\right]dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2859fb3097f3277cb4e519ef4c1c075f149084b)
Or le principe des forces vives suppose que la fonction
ne contient pas le temps explicitement ; les équations du mouvement du no 1, ne renferment donc que l’élément de cette variable ; par conséquent une des constantes arbitraires, contenues dans leurs intégrales, doit être ajoutée au temps ; de sorte qu’en supposant que c soit cette cette constante, les coordonnées des mobiles doivent être des fonctions de
Nous aurons donc
![{\displaystyle x'={\frac {dx}{dt}}={\frac {dx}{dc}},\qquad y'={\frac {dy}{dc}},\qquad z'={\frac {dz}{dc}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ede5ca9bdca4973ff74ae6a019bf9ac380b2e91)
d’où il suit
![{\displaystyle dh=\sum \left[{\frac {dx}{dc}}(x)+{\frac {dy}{dc}}(y)+{\frac {dz}{dc}}(z)\right]dt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c07ed5042cb003b8b1b3a6c5d0dcd5b78e4de72)
et, à cause de l’équation (9),
![{\displaystyle dh=(c)dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a3d4cf15ecef3daa405b5318a992873e8a9c4e)