C’est ce que nous allons faire successivement pour chacune des intégrales premières, résultantes des principes généraux de la mécanique.
(14) Considérons d’abord l’intégrale fournie par le principe des forces vives : en désignant par la constante arbitraire qu’elle contient elle sera, comme on sait,
on en déduit
mettant donc à la place de dans l’équation (8), on aura
Or le principe des forces vives suppose que la fonction ne contient pas le temps explicitement ; les équations du mouvement du no 1, ne renferment donc que l’élément de cette variable ; par conséquent une des constantes arbitraires, contenues dans leurs intégrales, doit être ajoutée au temps ; de sorte qu’en supposant que c soit cette cette constante, les coordonnées des mobiles doivent être des fonctions de Nous aurons donc
d’où il suit
et, à cause de l’équation (9),