§. Ier.
Équations différentielles du probléme.
(1) La théorie des oscillations d’un fluide incompressible et homogène, soumis à l’action de la pesanteur et un tant soit peu écarté de son état d’équilibre, est comprise dans ces deux équations[1] :
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}{\frac {p}{\rho }}-gz+{\frac {d\varphi }{dt}}=0,&(1)\\{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}=0.\qquad \qquad &(2)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d519275fb4e89782348cfed705a2d9be1b6ae73)
La variable
représente le temps ;
la pesanteur, et
la densité du fluide ;
sont les trois coordonnées rectangulaires d’un point quelconque du fluide ;
et
sont horizontales ;
est verticale et comptée dans le sens de la pesanteur ; enfin
et
sont deux fonctions inconnues de
et
la première représente la pression qui a lieu, au bout du temps
au point dont les coordonnées sont
les différences partielles de la seconde, relatives à
expriment, pour le même instant et pour le même point, les vîtesses du fluide suivant ces coordonnées, c’est-à-dire que l’on a
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dx}}={\frac {dx}{dt}},\qquad {\frac {d\varphi }{dy}}={\frac {dy}{dt}},\qquad {\frac {d\varphi }{dz}}={\frac {dz}{dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e52648449d36fa27af45348c0ad461475ace1e0c)
Ces vîtesses, et les distances des molécules à leurs positions initiales, sont regardées comme très-petites pendant
- ↑ Voyez mon Traité de Mécanique, tome II, page 493.