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méthode des quadratures, au moyen de l’équation (10) différenciée par rapport à $x$ ou à $z.$

Si, au contraire, on suppose qu’il s’agisse d’un point très-éloigné de l’ébranlement primitif, et si l’on néglige en conséquence $\alpha$ par rapport à $x$ et $z,$ dans les valeurs de $k$ et $k',$ elles se réduiront à $k=z+x{\sqrt {-1}},$ $k'=z-x{\sqrt {-1}},$ et en faisant la somme des valeurs de $y$ et $y'$ en séries, on aura

$y+y'={\frac {t{\sqrt {g}}}{2\left(z^{2}+x^{2}\right)}}\left(k+k'-{\frac {k^{2}+k_{'2}}{1.3}}.{\frac {gt^{2}}{2\left(z^{2}+x^{2}\right)}}\right.$

$\left.+{\frac {k^{3}+k_{'3}}{1.3.5}}.\left({\frac {gt^{2}}{2\left(z^{2}+x^{2}\right)}}\right)^{2}-{\frac {k^{4}+k_{'4}}{1.3.5.7}}.\left({\frac {gt^{2}}{2\left(z^{2}+x^{2}\right)}}\right)^{3}+{\text{etc}}.\right).$

Donc, en faisant $\int f\alpha \,d\alpha =\mathrm {A} ,$ de manière que $\mathrm {A}$ soit l’aire du segment plongé qui a produit l’ébranlement, nous aurons

$\varphi ={\frac {gt\mathrm {A} }{\pi }}.\left({\frac {z}{z^{2}+x^{2}}}-{\frac {\left(z^{2}-x^{2}\right)gt^{2}}{6\left(z^{2}+x^{2}\right)^{2}}}+{\frac {\left(z^{3}-3zx^{2}\right)g^{2}t^{4}}{60\left(z^{2}+x^{2}\right)^{3}}}-{\text{etc}}.\right).$

De-là on tirera des séries semblables et qu’il est inutile d’écrire, pour les valeurs des vîtesses ${\frac {d\varphi }{dx}}$ et ${\frac {d\varphi }{dz}}.$ On aurait obtenu la même valeur de $\varphi ,$ au moyen de l’équation (10), en remplaçant, sous le signe intégral, $x-\alpha$ par $x,$ et développant $sin.t{\sqrt {gu}}$ suivant les puissances de $t.$

(12) Ces résultats montrent que dans un fluide incompressible, comme celui que nous considérons, l’ébranlement produit en un point quelconque se transmet instantanément dans toute l’étendue de la masse ; car quelque petit que soit $t,$ et, au contraire, quelque grandes que soient les coor-